Все ли органические соединения содержат атомы водорода?

Нет, не все. Например гексахлорэтан, гексахлорбензол, соли и ангидриды трихлоруксусной кислоты не содержат атома водорода. Можно еще привести много примеров.

Нет.

Например:

Тетранитрометан (устаревшее название: нитроформен) — химическое органическое соединение с формулой C(NO2)4

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BD