Через ряды, бесконечные произведения и цепные дроби.
Например, для пи — формула Рамануджана:
Формула Чудновских:
Формула Бэйли - Боруэйна - Плаффа / Плуффе
Ну и т.д.
Для квадратных и кубических корней тоже существуют разные алгоритмы вычисления, позволяющие досчитать число до необходимой точности. В том числе и, кстати, алгоритмы вычисления "вручную" — "в столбик" (собственно, слово "алгорисм" (именно так, через "с") впервые стало использоваться в Средние Века для обозначения способов вычисления в столбик, а счетоводов, применявших эти способы вычисления, называли "калькуляторами".
Такие же способы вычисления есть и для корней третьих и даже четвертых степеней.
Общий принцип такой: досчитываем до нужного десятичного знака и там просто останавливаем выполнение алгоритма. Спасибо Симону Стевину за десятичные дроби.
Обычно - при помощи какого-нибудь быстро сходящегося ряда, желательно такого, где можно легко проконтролировать достигнутую точность.
Для e вполне годится определение
Число π тоже можно рассчитать разными рядами, например, получаемыми из разложения арктангенса в ряд Тейлора, или таким алгоритмом, как Spigot (в статье по ссылке не лучшая реализация, но принцип... Читать далее