Не очень понятно, почему вопрос "знатокам Академии Хана" Вы задаётся не напрямую "Академии Хана".
Для начала, имеет смысл понять историю отрицательных чисел.
Есть хорошо задокументированный факт "оправдания" введения отрицательных чисел. Их ввел Брахмагупта ( ब्रह्मगुप्त ) (598-670) в трактате Брахма-спхута-сиддханта ( ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त ) (подлинное изложение учения Брахмы) в 628 г.
Отрицательные числа он задаёт аксиоматически и, если можно так выразиться, "протоалгебраически", определив на множестве всех целых чисел операции сложения и обратные им.
Аксиоматика Брахмагупты значительно упрощала решение квадратных уравнений, чего так сильно избегал живший позже Аль-Хорезми (783-850): у Аль-Хорезми квадратные уравнения разделены аж по шести классам именно потому, что он избегал отрицательных корней квадратного уравнения. Отрицательных чисел также избегали Евклид и математики Вавилона. При этом, естественно, и у вавилонян и у древних греков и у персов было понятие "кредита", но оно определялось "по модулю" -- в абсолютной величине (то есть, положительно). Диофант все отрицательные решения уравнений считал "ложными" (то есть, несуществующими).
Более раннее свидетельство об использовании "протоотрицательных" чисел можно найти в китайском трактате "Девять томов искусства вычисления" ( 九章算術 ), которая записывалась с X по II в. до н.э. Книга содержит наставления по бухгалтерскому и налоговому учету и для учета одних целых чисел там предлагается использовать черные палочки, а для противоположных им -- красные палочки. Какие из них назвать "положительными", а какие "отрицательными" зависит от конвенции переводчика. Отрицательные числа были введены для учета задолженности по налогам, сборам и трудовым повинностям. Живший в 220/225-280/295 гг. математик Лю Хуэй ( 劉徽 ) выпустил комментированное переиздание трактата и также описал арифметику "отрицательных" чисел.
Джироламо Кардано (1501–1576), известный публикацией формул Сципионе дель Ферро (1465–1526) и Никколо Тартальи (1500–1557) для решения кубических уравнений (трактат Ars Magna 1545 г.), описывает отрицательные числа как numeri ficti ("воображаемые числа", "выдуманные числа" -- ничего не напоминает?), а положительные, соответственно, как numeri veri (истинные числа), но при этом не признаёт отрицательных коэффициентов в квадратных уравнениях, так как интерпретирует их строго геометрически как разложение в прямоугольники, стороны которых не могут иметь отрицательной длины.
Рафаэль Бомбелли (1526-1572) для обозначения отрицательных чисел использует префикс m. Т.е., m12-- это -12 , а p12 -- это +12. По видимому, он не осознает отрицательные числа в качестве таковых и нотация представляет из себя сокращенную запись операции "прибавить 12" и "отнять 12". Операции сложения и вычитания понимаются всё еще раздельно.
Симон Стевин (1548-1620), по-видимому, полностью принимает отрицательные числа.
Михаэль Штифель (1487-1567) называет отрицательные числа "абсурдными" и "выдумками меньше нуля".
Тихо Браге (1546-1601) называет отрицательные числа "вычитающими" и "вычитаемыми" и впервые использует современную нотацию с минусом: -1, -3, -5 и т.д.
Рене Декарт (1596-1650) в 1637 году в своём трактате "Геометрия" ( La Géométrie ) вводит следущее пропорциональное отношение.
- Если b и c -- длины отрезков.
- То bc есть пропроция этих длин: bc:b = c:1
То есть, bc Декарт не интерпретировал как площадь. Важно здесь то, что нотация "b" у Декарта означает положительную величину, а "-b" -- величину отрицательную. Понятие отрицательных величин появляется, как бы, естественным способом одновременно с введением метода координат.
Антуан Арно (1612-1694) уже знакомый с концепцией отрицательного числа и принятием её рядом математиков, критикует её с позиции теории пропорций: если принять отрицательные числа как легитимный математический объект, то верно пропорциональное отношение:
-1 : 1 = 1 : -1 и обратно: 1:-1 = -1 : 1
Что "есть абсурд, так как меньшее не может относиться к большему так же, как большее к меньшему".
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) соглашался с аргументом Арно, но признавал, что несмотря на корректность пропорционального аргумента Арно, вычисления с отрицательными числами, всё-таки, возможны.
Дискуссия о легитимности отрицательных чисел велась одновременно с дискуссией о легитимности "мнимых" чисел (т.е., таких, квадрат которых равен отрицательному числу), открытых ещё дель Ферро, Тартальей и Кардано. Так, математики Франсис Масэрэ (1731-1824) и Уильям Френд (1757-1841) заняли позицию отрицания как отрицательных чисел, так и мнимых, как не имеющих никакого физического эквивалента или приложения.
Окончательное "оправдание" отрицательных чисел мы видим у Колина Маклорена (1698-1746) и Леонарда Эйлера (1707-1783), которые приводили аналогии доход - расход, прибыль - убыток и т.д. Сами понятия, при этом, существовали тысячелетия до них, но всегда описывались ранее "по модулю", т.е. в положительных числах.
Джордж Пикок (1791-1858) для решения проблемы в тракте Treatise on Algebra вводит понятия "арифметической алгебры" и "символической алегбры". Арифметическая алгебра справедлива только для положительных чисел. То есть, выражение a-b имеет смысл только для b < 0 . Тогда как в символической алгебре выражение a-b имеет смысл всегда. Это можно назвать "прото-формалистской" и "прото-алгебраической" одновременно попыткой решения проблемы. Пикок использует "минусовую" нотацию для записи отрицательных чисел: -1, -3 , -5 и т.д.
Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865) подошел уже почти что к современному алгебраическому определению любых целых, как отрицательных, так и положительных, в трактате "Theory of Conjugate Functions, or Algebraic Couples; with a Preliminary and Elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time," ("Теория сопряженных функций, или алгебраических пар, с предварительным и вводным рассуждением по алгебре как науке Чистого Времени"), где он взял идею "чистого времени" и "Критики чистого разума" Канта. Работа напрямую направлена на критику философских оснований аргументов Арно, Френда и Масэрэ о восприятии ими отрицательных чисел как "меньших, чем ничего, количеств". Работа опубликована в 1837 году, а уже в 1843 году Гамильтон предложил теорию кватернионов -- сразу же после окончательной математической легитимации отрицательных и мнимых чисел.
Итак, исторически мы видим следующие основания для появления отрицательных чисел:
- Финансово-экономическое определение отрицательных чисел. Убыток-прибыль, расход-доход, долг - накопление, налоговая задолженность - налоговая переплата - налоговый баланс и т.д. Как учет долгов по долговым распискам у купцов, так и учет налогов со стороны разных государств.
- Прямое наглядное следствие из метода координат (Орем, Ферма, Декарт).
- Корни квадратных и кубических уравнений.
- Некоторые зачатки современных алгебраических и формалистских определений целых чисел вообще.
- Периодически, разными авторами приводилась "календарная" аналогия: годы "после Рождества Христова" и годы "до Рождества Христова".
- В XVIII-XIX веках появляются шкалы измерения температур: Рёмера, Реомюра, Фаренгейта, Ньютона, Цельсия, Дальтона и т.д., в которых возможны отрицательные температуры, что было наглядной демонстрацией физического эквивалента для отрицальных чисел.
Подробно в кантианско-гамильтоновские основания вдаваться не буду, так как подробный анализ Гамильтона потянет на полноценный философский трактат, за который мне не заплатят. Скажу лишь, что я лично интерпретирую теорию отрицательных чисел Гамильтона как "прото-алгебраизм", но это мой личный взгляд и считать его верным, целостным и непротиворечивым необязательно.
Отмечу лишь, что для осознания отрицательных чисел потребовались серьезные философские и религиозные основания, совмещенные с реальной практикой экономической и кредитно-финансовой деятельности.
Генрих Вебер в своём издании 1891-1892 гг. лекций Леопольда Кронекера 1886 года приписывает последнему фразу: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" ("Бог создал только целые числа, остальное же -- дело рук человеческих"). Кронекер уже воспринимает отрицательные числа как полноценные целые числа.
Современные методы определения целых чисел включаю в себя их определение как классов эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел. В конструкции Кэмпбелла:
(a,b) ~ (c,d), где а - уменьшаемое, b -- вычитаемое, (a,b) -- разность, а ~ -- отношение эквивалентности, такое, что:
a + d = b + c
Норман Уайлдбергер подходит к вопросу конструирования целых чисел сходным образом, только в теоретико-множественном ключе:
a\b = c\d так, что a + d = b + c , воспринимая сами натуральные числа как множества.
В алгебраическом смысле, целые числа являются целостным коммутативным кольцом с единицей, относительно сложения целые числа являются абелевой группой ℤ. "Кольцо", напомню, алгебраическая структура с множествами обратимого сложения и умножения. В данном случае, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и дополнительно наличие нейтрального элемента относительно умножения (единица) и сложения (ноль). Группа -- это структура с обратимой бинарной операцией, нейтральным элементом относительно операции (ноль относительно сложения) и обратным/противоположным элементом. Можно использовать аксиоматический подход, просто, задав целые числа как коммутативное кольцо относительно сложения и умножения и абелеву группу относительно сложения.
То есть, очень важный момент. Разность (вычитание) изначально воспринималась как самостоятельная арифметическая операция. Теория же отрицательных чисел привела к современному пониманию разности как обратной операции относительно сложения-- вне этого контекста разности нет, а есть "прибавление отрицательного" числа. То есть, тот самый "отрицательный рост" из анекдотов.
Я не буду из принципа отвечать на вопрос, "открыты" ли целые числа (отрицательные, ноль, и положительные) или "изобретены". Ответ на этот вопрос Вы можете выбрать самостоятельно, исходя из предпочитаемых конвенционально философских оснований.
"Практическое" применение -- это экономика и финансы, шкалы температур, давления и т.д., хорология и хронометрия, рейтинговые системы.