Да, сможете. Право на бесплатное образование считается использованным только при наличии документа, подтверждающего получение этого уровня образования
В России бесплатно можно получить образование соответствующего уровня только впервые. В данном случае бесплатно отучиться получится только в аспирантуре
Реально. Уезжаете сразу после получения аттестата, док-ты в вузы подаете онлайн (во многих это предусмотрено). В конце июля возвращаетесь и решаете куда нести оригинал