Урок 2.3 Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшим тригонометрическим уравнением называется уравнение вида

, где — некоторое действительное число. Решаются они проще всего с помощью тригонометрического круга. Разберём несколько примеров.

Пример 1. Решите уравнение

Решение. Нарисуем тригонометрический круг. Нас интересуют точки, у которых координата по вертикальной оси равна

. Таких точек две. В первой четверти это точка, дающая угол

, поэтому во второй четверти угол будет

. Кроме того, можно пройти несколько полных оборотов из этих двух точек, что даёт окончательный ответ

;

Ответ:

;

Отметим сразу, что

всегда находятся в промежутке

, поэтому, если в правой части подобного уравнения написано число не из этого промежутка, то уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Нарисуем тригонометрический круг. Нас интересуют точки, у которых координата по горизонтальной оси равна

. Таких точек две. Во второй четверти это точка, дающая угол

, поэтому в третьей четверти угол будет

. Кроме того, можно пройти несколько полных оборотов из этих двух точек, что даёт окончательный ответ

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение

Решение. На промежутке

тангенс принимает все значения ровно по одному разу (нужное нам при

). Кроме того, он периодичен с периодом , что даёт окончательный ответ

Ответ:

Пример 4. Решите уравнение

Решение. С помощью тригонометрического круга найдём значение . Нас интересуют точки, у которых координата по вертикальной оси равна . Это точка, дающая угол