Подмешивать – суффикс -ива- (сохраняется в форме 1-го лица ед. ч.: подмешиваю; сравните: горевать – горюю).
Пушечный – суффикс -ек-/ик- (пушечный – нет пушек). Е – беглая гласная (пушка).
Заботливый, застенчивый – суффиксы -лив- и -чив-.
Надеяться – написание глаголов в форме инфинитива нужно запомнить.