Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA_1 и A_1C_1 соответственно. Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны. Найдите угол между... | Яндекс.Репетитор

Все рёбра правильной треугольной призмы

имеют длину . Точки и — середины рёбер

соответственно.

Показать разбор

А. Пусть точка — середина

. Тогда

Вместе с тем

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник

является прямоугольным с прямым углом .

Б. Проведём перпендикуляр

к прямой

. Тогда

. Следовательно,

. Поэтому

— проекция

на плоскость

Прямая

перпендикулярна

, тогда по теореме о трёх перпендикулярах

. Следовательно, угол

— линейный угол искомого угла.

Длина

равна половине высоты треугольника

, то есть

Поэтому

Следовательно,

Б.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах А и Б.
Выполнен только один из пунктов – А или Б.
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше.
Максимальный балл

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020