Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую... | Яндекс.Репетитор

Две окружности касаются внешним образом в точке . Прямая AB касается первой окружности в точке , а второй — в точке . Прямая

пересекает первую окружность в точке , прямая

пересекает вторую окружность в точке .

Показать разбор

А. Обозначим центры окружностей и соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке , пересекает

в точке . По свойству касательных, проведённых из одной точки,

Треугольник

, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.

Вписанный угол

прямой, поэтому он опирается на диаметр

. Значит,

. Аналогично, получаем, что

. Следовательно, прямые

параллельны.

Б. Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус , а вторая — радиус .

Треугольники

подобны,

. Пусть

, тогда

У треугольников

общая высота, следовательно,

, то есть

. Аналогично

. Площадь трапеции

равна

. Вычислим площадь трапеции

. Проведём к

перпендикуляр

, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника

Тогда

Следовательно,

, откуда

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта А, и обоснованно получен верный ответ в пункте Б.
Получен обоснованный ответ в пункте Б, ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта А, и при обоснованном решении пункта Б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
Имеется верное доказательство утверждения пункта А, ИЛИ при обоснованном решении пункта Б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте Б с использованием утверждения пункта А, при этом пункт А не выполнен.
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше.
Максимальный балл

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020