Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система {(|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 9,(x + 2)^2 + y^2 = a^2 имеет единственное решение. | Яндекс.Репетитор

Задание#T1508

Найдите все положительные значения , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Показать разбор

Решение.

Если

, то уравнение

задаёт окружность с центром в точке (; ) радиусом , а если

, то оно задаёт окружность с центром в точке (; ) таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях уравнение

задаёт окружность с центром в точке (; ) радиусом . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как

, то

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как

, то

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как

, то условию задачи удовлетворяют только числа

Ответ:

;

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но ИЛИ в ответ включены также и одно-два неверных значения; ИЛИ решение недостаточно обосновано.
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра.
Задача сведена к исследованию: ИЛИ взаимного расположения трёх окружностей; ИЛИ двух квадратных уравнений с параметром.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Максимальный балл

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

Это задание в разделах:

Задача с параметром

Задание#T1508

Это задание в разделах:

Рекомендованные задания