Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания ABC пирамиды. Точка M лежит на ребре AB так, что AM:MB = 1:3. Точка T лежит на прямой AF и равноудалена от... | Яндекс.Репетитор

Версия для печати

Задание#T19301

Около правильной пирамиды

описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания

пирамиды. Точка лежит на ребре

так, что

Точка лежит на прямой

и равноудалена от точек и Объем пирамиды

равен

Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды

Показать разбор

Пусть – центр сферы радиуса описанной около пирамиды Так как а то точка является также центром окружности радиуса описанной около треугольника Треугольник – правильный, следовательно, – точка пересечения медиан треугольника
– правильная пирамида, поэтому – высота пирамиды и По условию и Опустим из точки перпендикуляр на прямую Так как то и следовательно, – высота пирамиды а отрезки и – проекции равных наклонных и Значит, и поэтому треугольник – равнобедренный, а его высота является медианой, то есть
Объем пирамиды равный выразим через Из условия имеем Отсюда В прямоугольном треугольнике угол равен следовательно, Так как то прямоугольный треугольник – равнобедренный, поэтому в прямоугольном треугольнике угол равен следовательно, Медиана правильного треугольника является его высотой. Поэтому – высота треугольника Следовательно, площадь треугольника можно найти по формуле Имеем и Отсюда По условию откуда и

Ответ:

Примечание. Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или на признак или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.

Критерии оценки

4 баллаПриведена верная последовательность шагов решения:
1. установлено, что центром сферы, описанной около пирамиды

является точка пересечения медиан треугольника

2. установлено положение основания высоты

пирамиды

3. площадь основания, высота и объем пирамиды

выражены через радиус сферы, описанной около пирамиды

вычислена искомая величина
Верно обоснованы ключевые моменты решения:
А. центр сферы, описанной около пирамиды

– точка пересечения медиан основания пирамиды;
Б. основание высоты

пирамиды

лежит на прямой

содержащей медиану треугольника

Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

3 баллаПриведены все шаги решения –
Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты А и Б решения. Допустимы отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях, но не грубые ошибки.
Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.

2 баллаПриведены шаги решения –
Утверждения, составляющие ключевые моменты А и Б решения, либо оба отсутствуют, либо приведено только одно из них. Но сами ключевые моменты использованы в решении. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок.
Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.

1 баллХод решения правильный, но решение не завершено: указано положение центра описанной сферы (описано словесно либо отражено на чертеже). Найдены некоторые числовые характеристики пирамид, например, длина отрезка

выражена через радиус сферы, описанной около пирамиды

Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в преобразованиях и вычислениях, не влияющие на правильность хода решения.

0 балловВсе случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления – баллов.

Это задание в разделах:

ЕГЭ-2009 - Архив

Задание#T19301

Это задание в разделах:

Рекомендованные задания