Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную... | Яндекс.Репетитор

Задание#T19313

Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен и что если к десятичной записи числа приписать справа через запятую десятичную запись числа то получится десятичная запись числа, равного

Показать разбор

Пусть десятичная запись числа состоит из цифр. Тогда по условию задачи можно записать равенство

поэтому

Из этого уравнения следует, что

Так как числа и взаимно простые, числа

и тоже взаимно простые. (Действительно, пусть — общий простой делитель этих чисел. Тогда если делитель то будет делителем Если же – делитель то будет делителем значит, – делитель Противоречие.)

Поэтому

и, следовательно,

Последнее равенство при взаимно простых и возможно только в двух случаях:

но в этом случае не выполняется равенство
В этом случае равенство принимает вид

откуда

Функция

возрастает, а функция

убывает. Поэтому уравнение

имеет не более одного корня, и так как

единственным корнем уравнения является

Ответ:

Возможны другие формы записи ответа. Например:

Критерии оценки

4 баллаВ представленном решении обоснованно получен верный ответ.

3 баллаПолучена система необходимых и достаточных условий на пару искомых чисел и найдено ее решение, но недостаточно обоснована его единственность.

2 баллаСоставлено верное уравнение в натуральных числах, из которого сделаны какие-либо существенные выводы для нахождения искомой пары чисел, уравнение до конца не решено, но верный ответ приведен.

1 баллСоставлено, но не решено верное уравнение в натуральных числах, верный ответ приведен.

0 балловОтвет не найден, или ответ неверен, или в решении отсутствует верное уравнение в натуральных числах.

Это задание в разделах:

ЕГЭ-2010 - Архив

Задание#T19313

Это задание в разделах:

Рекомендованные задания