На доске написано более но менее целых чисел. Среднее
арифметическое этих чисел равно среднее арифметическое всех
положительных из них равно а среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно
Сколько чисел написано на доске?
Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Показать разбор
Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных
и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
А. Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое
слагаемое делится на поэтому — количество целых чисел — делится на По условию поэтому Таким образом, написано числа.
Б. Приведём равенство к виду Так как получаем, что откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
В Подставим в правую часть равенства : откуда Так как получаем: то есть положительных чисел не более
В Приведём пример, когда положительных чисел ровно Пусть на доске раз написано число раз написано число и два раза написан Тогда указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ:
отрицательных;
Критерии оценки
4 баллаВерно выполнены: А, Б, В В
3 баллаВерно выполнены три пункта из четырёх: А, Б, В В
2 баллаВерно выполнены два пункта из четырёх: А, Б, В В
1 баллВерно выполнен один пункт из четырёх: А, Б, В В
0 балловРешение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше