В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом . Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основы под углом . Радиус шара, описанного вокруг пирамиды, равен см. Вычислите объем пирамиды в кубических сантиметрах.
Показать разбор и ответ
Пусть — заданная пирамида, треугольник — прямоугольный , , точка — центр шара. Так как все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания. В прямоугольном треугольнике он находится на середине гипотенузы (точка ). Для вычисления объема пирамиды нужно найти площадь ее основания и высоту.
Пусть Из прямоугольного треугольника :
,
Рассмотрим треугольник , равный треугольнику В нем как радиусы шара, следовательно, треугольник — равнобедренный. Поскольку , то , следовательно — биссектриса этого треугольника.
Тогда по свойству биссектрисы
Так как , то радиус шара см, откуда
Таким образом, высота пирамиды см, а гипотенуза основания см.