Проведем диагонали AC и BD. KL и NM – это средние линии в треугольниках ABC и ADC соответственно, поэтому они параллельны стороне AC. Аналогично, LM и KN параллельны BD. 
Значит, стороны четырехугольника KLMN параллельны диагоналям трапеции, и поэтому, во-первых, этот четырехугольник – параллелограмм, во-вторых, его углы равны углам между диагоналями трапеции. Теперь найдем углы между диагоналями трапеции.
Данная нам трапеция особенная, в ней равны три стороны, и поэтому диагональ AC является биссектрисой угла A. Действительно, ∠BAC=∠BCA (это углы при основании равнобедренного треугольника ABC), но и ∠CAD=∠BCA (это накрест лежащие угла при параллельных прямых). Значит, углы BAC, CAD и BCA равны: ∠BAC=∠CAD=∠BCA=40∘:2=20∘. Аналогично можно найти угол BDA – он тоже равен 20∘. Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции. В треугольнике AOD два угла равны по 20∘, следовательно, углы между диагоналями трапеции равны 140∘ и 40∘. Значит, и углы четырехугольника KLMN равны тому же самому. Нам нужен наибольший угол – он равен 140∘. 
