Два игрока, Паша и Валя, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить... | Яндекс.Репетитор

Задание#T27021

Два игрока, Паша и Валя, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из камней, за один ход можно получить кучу из или камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее Если при этом в куче оказалось не более камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. Например, если в куче было камней и Паша удвоит количество камней в куче, то игра закончится, и победителем будет Валя. В начальный момент в куче было камней,

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания.

1. А. При каких значениях числа Паша может выиграть в один ход?

Укажите все такие значения и соответствующие ходы Паши.

Б. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при

Опишите выигрышные стратегии для этих случаев.

2. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при

Опишите соответствующие выигрышные стратегии.

3. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при

Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах – количество камней в позиции.

Показать разбор

Содержание верного ответа

(допускаются иные формулировки ответа, не искажающие его смысла)

1. А. Паша может выиграть, если

или

При

первым ходом нужно добавить в кучу один камень, при остальных указанных значениях нужно удвоить количество камней.

Б. При

или удваивать количество камней не имеет смысла, так как после такого хода выигрывает противник. Поэтому можно считать, что единственный возможный ход – это добавление в кучу одного камня.

При

после такого хода Паши в куче станет камней. В этой позиции ходящий (т.е. Валя) выигрывает (см. п. 1А): при

Паша (игрок, который должен ходить первым) проигрывает. Выигрышная стратегия есть у Вали.

При

после того как Паша своим первым ходом добавит один камень, в куче станет камней. В этой позиции ходящий (т.е. Валя) проигрывает (см. выше): при

Паша (игрок, который должен ходить первым) выигрывает. Выигрышная стратегия есть у Паши.

При

выигрышная стратегия есть у Вали. Действительно, если Паша первым ходом удваивает количество камней, то в куче становится камня, и игра сразу заканчивается выигрышем Вали. Если Паша добавляет один камень, то в куче становится камней. Как мы уже знаем, в этой позиции игрок, который должен ходить (т.е. Валя), выигрывает.

Во всех случаях выигрыш достигается тем, что при своём ходе игрок, имеющий выигрышную стратегию, должен добавить в кучу один камень.

Замечание для проверяющего. Скорее всего, решение экзаменуемого будет не столь подробным. Это не является ошибкой. Ученик может, например, нарисовать деревья всех возможных партий для указанных значений Другая возможность – (1) указать на то, что удваивать кучу не имеет смысла, и (2) последовательно сводить случай

к случаю

случай

– к случаю

и т.д.

2. При

или выигрышная стратегия есть у Паши. Она состоит в том, чтобы удвоить количество камней в куче и получить кучу, в которой будет соответственно или камней. В обоих случаях игрок, который будет делать ход (теперь это Валя), проигрывает (п. 1Б).

3. При

выигрышная стратегия есть у Вали. После первого хода Паши в куче может стать либо либо камней. В обеих этих позициях выигрывает игрок, который будет делать ход (теперь это Валя). Случай

рассмотрен в п. 2, случай

рассмотрен в п. 1А.

В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вали. Заключительные позиции (в них выигрывает Валя) подчёркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).

Рис. 1. Дерево всех партий, возможных при Валиной стратегии. Знаком >> обозначены позиции, в которых партия заканчивается

Указания по оцениванию

Предварительные замечания

В задаче от ученика требуется выполнить три задания. Их трудность возрастает. Количество баллов в целом соответствует количеству выполненных заданий (подробнее см. ниже).

Ошибка в решении, не искажающая основного замысла и не приведшая к неверному ответу, например арифметическая ошибка при вычислении количества камней в заключительной позиции, при оценке решения не учитывается.

Пункт 1А считается выполненным, если правильно указаны все позиции, в которых Паша выигрывает первым ходом, и указано, каким должен быть первый ход. Пункт 1Б считается выполненным, если (I) правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию в каждой из указанных позиций, и (II) описаны выигрышные стратегии – так, как это сделано в образце решения, или другим способом. Первое задание считается выполненным полностью, если выполнены полностью оба пункта: 1А и 1Б.

Замечание для проверяющего. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника (см. условие задачи). Есть два основных способа сделать это. (1) Можно построить дерево всех партий, возможных при выбранной стратегии, и убедиться, что все заключительные позиции являются выигрышными для игрока, реализующего стратегию. (2) Можно свести задачу к рассмотренным выше позициям. Например, выигрышную стратегию для игрока, который ходит первым, можно описать, указав ход, ведущий в позицию, для которой известна выигрышная стратегия для игрока, который ходит вторым. Чтобы подобным образом описать выигрышную стратегию для игрока, который ходит вторым (Вали), нужно перебрать все возможные первые ходы Паши и убедиться, что для всех полученных позиций мы знаем выигрышную стратегию для игрока, который ходит первым.

В примере решения мы используем в основном второй способ описания стратегии. Экзаменуемый может описывать стратегию любым удобным ему способом. Существенно (повторим), чтобы (1) для каждой позиции, которая может встретиться игроку, реализующему стратегию, было понятно, какой ход он должен сделать, и (2) было показано, что все возможные заключительные позиции выигрышные для этого игрока.

Задание 2 считается выполненным, если (I) правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию в каждой из указанных позиций, и (II) описаны выигрышные стратегии.

Задание 3 считается выполненным, если (I) правильно указано, что выигрышную стратегию имеет Валя; (II) правильно описано дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). При этом допускаются арифметические ошибки, не искажающие сути решения.

Во всех случаях стратегии могут быть описаны так, как это сделано в примере решения, или другим способом.

Порядок назначения третьего эксперта

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от

зарегистрирован Минюстом России

)

«61. По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы ЕГЭ с развёрнутым ответом...

62. В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу».

Если расхождение составляет и более балла за выполнение любого из заданий, то третий эксперт проверяет ответы только на те задания, которые вызвали столь существенное расхождение.

Критерии оценки

3 баллаВыполнены второе и третье задания.
Для первого задания правильно перечислены позиции, в которых Паша выигрывает первым ходом (п. 1А), и правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию при указанных значениях (п. 1Б). При этом допускаются недочёты следующих типов:
– в п. 1А не указано, каким ходом выигрывает Паша;
– в п. 1Б не указано, что игрокам нет смысла удваивать количество камней в куче.
Здесь и далее в решениях допускаются арифметические ошибки, которые не искажают сути решения и не приводят к неправильному ответу.

2 баллаНе выполнены условия, позволяющие поставить балла, и выполнено одно из следующих условий.
– Выполнено третье задание.
– Выполнены первое и второе задания.
– Первое задание выполнено, возможно, при наличии недочётов, указанных в критериях на балла; для второго задания (I) правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию в каждой из указанных позиций, и (II) правильно указан первый ход Паши при выигрышной стратегии, однако не указано, что после выбранного хода Паши получается позиция, выигрышная для Вали; для третьего задания правильно указан игрок, имеющий выигрышную стратегию.

1 баллНе выполнены условия, позволяющие поставить или балла, и выполнено одно из следующих условий.
– Первое задание выполнено, возможно, с недочётами, указанными в критериях на балла.
– Второе задание выполнено, возможно, с недочётами, указанными в критериях на балла.
– Для второго и третьего заданий во всех случаях правильно указан игрок, имеющий выигрышную стратегию.

0 балловНе выполнено ни одно из условий, позволяющих поставить

или балла.

Это задание в разделах:

ЕГЭ-2017 - Архив

Задание#T27021

Это задание в разделах:

Рекомендованные задания