Высоты треугольника ABC с тупым углом ABC пересекаются в точке H. Угол AHC равен 60°. Докажите, что угол ABC равен 120°. Найдите BH, если AB = 6, BC = 10. | Яндекс.Репетитор | ЕГЭ-2020 по профильной математике

Версия для печати

Задание#T29214

Высоты треугольника

с тупым углом

пересекаются в точке Угол

равен

Докажите, что угол равен
Найдите если

Показать разбор

А. Пусть

и

— высоты треугольника

Поскольку угол

тупой, точка пересечения прямых

и

лежит вне треугольника

При этом точки и лежат по одну сторону от прямой

В четырёхугольнике

углы при вершинах и равны по

значит, сумма двух других углов этого четырёхугольника равна

Следовательно,

Б. Пусть — центр окружности, описанной около треугольника

— середина стороны

Известно, что

(Действительно, если — середина стороны

то

— средняя линия треугольника

значит,

Прямая

— серединный перпендикуляр к стороне

а так как

то

Прямые

и

также параллельны, т. е. обе они перпендикулярны прямой

Значит, стороны треугольника

соответственно параллельны сторонам треугольника

Эти треугольники подобны с коэффициентом так как

Следовательно,

)

Поскольку угол

тупой, точки и лежат по разные стороны от прямой

Градусная мера дуги

не содержащей точки вдвое больше градусной меры вписанного угла

т. е. равна

Тогда градусная мера дуги

равна

Значит, соответствующий этой дуге центральный угол

также равен

По теореме косинусов

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Следовательно

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание в разделах:

Планиметрическая задача

Рекомендованные задания

Для составления персональной подборки решено недостаточно заданий.

Повышайте свой балл на экзамене!

Решать задания

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

пт

0

сб

0

вс

0

пн

0

вт

0

ср

0

чт