В двух областях есть по рабочих, каждый из которых готов трудиться по часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает кг алюминия или кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на кг алюминия приходится кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава.
Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Показать разбор и ответ
Поскольку в первой области находится рабочих, готовых работать по часов в сутки, эта область произведёт человеко-часов труда. Пусть из этих человеко-часов были потрачены на добычу алюминия. Тогда были потрачены на добычу никеля. Следовательно, в первой области будет добыто кг алюминия и кг никеля.
Аналогично, вторая область произведёт человеко-часов труда. Пусть из этих человеко-часов были потрачены на добычу алюминия. Тогда во второй области будет добыто кг алюминия. Следовательно, на добычу никеля было потрачено человеко-часов, откуда находим, что во второй области будет добыто кг никеля. Значит суммарно области добыли кг алюминия и кг никеля.
Поскольку для сплава нужно кг алюминия и кг никеля, отношение произведённого обоими областями алюминия к произведённому ими никелю равно Отсюда получаем уравнение
Заметим, что если было произведено кг сплава, то количество алюминия в этом сплаве равно кг. Значит, для того чтобы найти наибольшее количество килограммов сплава, нужно найти наибольшее количество килограммов алюминия в этом сплаве. Таким образом, нужно найти наибольшее значение выражения при условии Подставим значение из второго выражения в первое:
Нужно найти наибольшее значение функции при
Найдём производную функции :
Найдём точку экстремума:
Поскольку значит, – единственная точка экстремума.
Найдём значения функции в найденной точке и на концах отрезка:
Следовательно, наибольшее значение функции равно
Таким образом, было выплавлено кг алюминия. Масса алюминия составляет от массы сплава, значит, областями было произведено кг сплава.