Дана четырёхугольная пирамида в основании которой лежит прямоугольник Основанием высоты пирамиды является точка пересечения диагоналей основания. Известно, что Из точек и опущены перпендикуляры и на ребро
Докажите, что — середина
Найдите угол между гранями и если
Показать разбор
А. Высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания, значит, боковые рёбра пирамиды равны. Обозначим Тогда
или
откуда Из равнобедренного треугольника аналогично находим, что Следовательно, т. е. — середина
Б. В равнобедренном треугольнике через точку лежащую на боковой стороне проведём прямую, параллельную высоте Пусть — точка её пересечения со стороной По теореме Фалеса — середина Значит,
Из равнобедренного треугольника находим, что
Из прямоугольного треугольника находим, что
Так как и то — линейный угол двугранного угла между гранями и По теореме косинусов