В правильной пирамиде точки и — середины рёбер и соответственно. На боковом ребре отмечена точка Сечение пирамиды плоскостью является четырёхугольником, диагонали которого пересекаются в точке
Докажите, что точка лежит на высоте пирамиды.
Найдите угол между плоскостями и если и
Показать разбор
А. Пусть — центр основания пирамиды, — точка пересечения плоскости с прямой
Прямые и лежат в плоскости и не параллельны, значит, они пересекаются. Аналогично, прямые и также пересекаются. Кроме того, прямые и пересекаются в точке Итак, три прямые и попарно пересекаются и не лежат в одной плоскости. Значит, они проходят через одну точку — точку пересечения диагоналей четырёхугольника (прямая пересекает прямые и поэтому она проходит через их точку пересечения). Следовательно, точка лежит на высоте пирамиды.
Б. Прямая параллельна плоскости так как она параллельна прямой лежащей в этой плоскости ( — средняя линия треугольника ). Значит, плоскости и пересекаются по прямой параллельной Тогда четырёхугольник — равнобокая трапеция с основаниями и
Пусть — середина ребра — точка пересечения и — точка пересечения и Тогда — середина а Плоскость перпендикулярна прямой пересечения плоскостей и поэтому искомый угол — это угол
Далее находим:
Из параллельности прямых и получаем, что Пусть — ортогональная проекция точки на плоскость основания пирамиды. Тогда точка лежит на отрезке причём