Содержание верного ответа
(допускаются иные формулировки ответа, не искажающие его смысла)
Задание 1.
- Петя может выиграть первым ходом, если
Для выигрыша достаточно утроить количество камней во второй куче. При меньших значениях
за один ход нельзя получить
или более камней в двух кучах. - Такая ситуация возможна при
Если Петя утроит вторую кучу, получится позиция
из которой Ваня может получить позицию
и выиграть. При
никакой первый ход Пети не создаст ситуацию, в которой Ваня может сразу выиграть.
Задание 2.
Возможные значения
:
В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако при
Петя может получить позицию
а при
– позицию ![](https://yastatic.net/s3/edu/tex/ad2cd5a96638cdca4a638c9a12d2ed66.svg)
В первом случае после хода Вани возникнет одна из позиций
во втором случае – одна из позиций
В любой из перечисленных позиций Петя может выиграть, утроив количество камней в большей куче. Задание 3.
Возможное значение
:
После первого хода Пети возможны позиции
В позициях
и
Ваня может выиграть первым ходом, утроив количество камней во второй куче. Из позиций
и
Ваня может получить позицию
разобранную в задании
Игрок, после хода которого возникла эта позиция (в данном случае – Ваня), выигрывает следующим ходом. В таблице изображены возможные партии при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) выделены жирным шрифтом. На рисунке эти же партии показаны в виде графа (оба способа изображения допустимы).
![](https://avatars.mds.yandex.net/get-tutor/1521001/3aa220a4-5482-40ff-a9ef-7c4bc1680651.png/orig)
![](https://avatars.mds.yandex.net/get-tutor/1677215/e526978a-656b-4a0b-b1d3-89c05911fe34.png/orig)
Рис. 1. Граф всех партий, возможных при описанной стратегии Вани. Ходы Пети показаны сплошными стрелками, ходы Вани – пунктирными стрелками. Заключительные позиции обозначены прямоугольниками.
Примечание для эксперта. Дерево всех партий может быть изображено в виде таблицы или в виде ориентированного графа – так, как показано на рисунке, или другим способом. Например, вместо приведённого здесь «экономного» варианта, в котором позиции не дублируются, возможно построение полного дерева, в котором одинаковые позиции, возникающие при различном ходе игры, показаны отдельно. Важно, чтобы множество полных путей в графе находилось во взаимно однозначном соответствии с множеством партий, возможных при описанной в решении стратегии. В некоторых позициях заключительный выигрывающий ход можно сделать несколькими способами. В таблице и на рисунке указан один из них, в работе допускается выбор любого допустимого заключительного выигрывающего хода.
Указания по оцениванию
В задаче от ученика требуется выполнить три задания. Количество баллов в целом соответствует количеству выполненных заданий (подробнее см. ниже).
Ошибка в решении, не искажающая основного замысла и не приведшая к неверному ответу, например арифметическая ошибка при вычислении количества камней в заключительной позиции, при оценке решения не учитывается.
Задание 1 выполнено, если выполнены оба пункта: для пункта А перечислены все удовлетворяющие условию значения
и только они; для пункта Б указано верное значение
и только оно. Обоснование найденных значений не обязательно. Задание 2 выполнено, если верно указана выигрышная для Пети позиция (любая из двух возможных) и описана соответствующая стратегия.
Задание 3 выполнено, если правильно указана выигрышная для Вани позиция и построено дерево всех возможных при выигрышной стратегии партий (и только их).
Во всех случаях стратегии могут быть описаны так, как это сделано в примере решения, или другим способом.