Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 8x^6 + (a - x)^3 + 2x^2 + a = x имеет хотя бы один корень. | Яндекс.Репетитор

Найдите все значения для каждого из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Показать разбор

Перепишем уравнение в виде

Рассмотрим функцию

монотонно возрастающую на всей числовой прямой (как сумма возрастающих функций). В силу возрастания функции

равенство

будет выполняться в том и только том случае, если

В нашем случае

Таким образом, данное уравнение можно переписать так:

откуда

Для того чтобы полученное (а значит, и данное) уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант

был неотрицателен, т. е.

откуда

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО