Найдите все значения a, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений {x^2 + (y - 4)^2 = 16, sqrt (x^2 + (y - 12)^2) + sqrt ((x - a)^2 + y^2) = sqrt (a^2 + 144) . | Яндекс.Репетитор | ЕГЭ-2020 по профильной математике

Версия для печати

Задание#T30270

Найдите все значения при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

Показать разбор

Первое уравнение системы является уравнением окружности с центром

и радиусом Левая часть второго уравнения равна сумме расстояний от точки

координатной плоскости

до точек

и

этой плоскости. Заметим, что длина отрезка

равна

т. е. равна правой части второго уравнения системы. Поэтому

откуда следует, что точка

принадлежит отрезку

Теперь условие задачи можно перевести с языка формул на язык расстояний: решить задачу — значит найти все значения параметра при каждом из которых существует единственная точка

координатной плоскости

которая принадлежит как окружности с центром

и радиусом так и отрезку с концами

и

Таким образом, требуется найти такое положение точки

на оси абсцисс, при котором прямая

касается окружности в точке

Последнее возможно в двух случаях, при этом соответственные значения параметра равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. В любом случае отрезок

является радиусом, проведённым в точку касания, то есть

Но

значит, угол

Поэтому

(где точка — начало координат). Следовательно,

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание в разделах:

Задача с параметром

Рекомендованные задания

Для составления персональной подборки решено недостаточно заданий.

Повышайте свой балл на экзамене!

Решать задания

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

пт

0

сб

0

вс

0

пн

0

вт

0

ср

0

чт