Найдите все значения a, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений {(|x| - 6)^2 + (y - 12)^2 = 4,(x + 1)^2 + y^2 = a^2. | Яндекс.Репетитор | ЕГЭ-2020 по профильной математике

Версия для печати

Задание#T30271

Найдите все значения при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

Показать разбор

При

уравнение

является уравнением окружности с центром в точке

и радиусом При

это уравнение является уравнением окружности с центром в точке

и тем же радиусом.

Если

второе уравнение данной системы принимает вид

откуда

Эти числа не являются решением первого уравнения системы. Если

второе уравнение данной системы является уравнением окружности с центром в точке

и радиусом

Таким образом, требуется найти все отличные от нуля значения параметра при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью

где лежит между и

Так как

получаем, что

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью

где лежит между и

Так как

получаем, что

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Данная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не имеет ни одной общей точки с другой окружностью. Так как

условию задачи удовлетворяют только числа

и

откуда

или

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание в разделах:

Задача с параметром

Рекомендованные задания

Для составления персональной подборки решено недостаточно заданий.

Повышайте свой балл на экзамене!

Решать задания

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

чт

0

пт

0

сб

0

вс

0

пн

0

вт

0

ср