Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение ax + sqrt (3 - 2x - x^2) = 4a + 2 имеет единственный корень. | Яндекс.Репетитор | ЕГЭ-2020 по профильной математике

Версия для печати

Задание#T30273

Найдите все значения при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

Показать разбор

Перепишем уравнение в виде

и рассмотрим графики функций

и

Поскольку правая часть формулы

неотрицательна, левая её часть тоже не может быть отрицательной. Поэтому

откуда

Значит, графиком функции

является та часть окружности

ординаты точек которой неотрицательны, т. е. полуокружность радиуса с центром в точке

расположенная не ниже оси абсцисс. Эта полуокружность имеет с осью абсцисс общие точки

и

Графиком функции

является прямая. Заметим, что

и если

то

вне зависимости от значений параметра. Поэтому прямая

при любом значении параметра проходит через точку

Данное уравнение имеет единственный корень только в том случае, когда эта прямая имеет с полуокружностью единственную общую точку. Последнее возможно, если эта прямая касается полуокружности либо расположена между прямыми

и

так, что её угловой коэффициент

где и — угловые коэффициенты прямых

и

соответственно. Поскольку наиболее удалённая от оси абсцисс точка полуокружности имеет ту же ординату, что и точка

прямая

параллельная оси абсцисс, будет касательной к полуокружности. В этом случае

Найдём теперь и Поскольку точка

принадлежит прямой

её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому

откуда

Таким образом,

Поскольку точка

принадлежит прямой

её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому

откуда

Таким образом,

Значит,

если

откуда

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание в разделах:

Задача с параметром

Рекомендованные задания

Для составления персональной подборки решено недостаточно заданий.

Повышайте свой балл на экзамене!

Решать задания

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

пт

0

сб

0

вс

0

пн

0

вт

0

ср

0

чт