Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке D,... | Яндекс.Репетитор

Две окружности касаются внешним образом в точке . Прямая касается меньшей окружности в точке , а большей — в точке , отличной от . Прямая

вторично пересекает бóльшую окружность в точке , прямая

вторично пересекает меньшую окружность в точке .

Докажите, что прямая параллельна прямой .
Пусть — отличная от точка пересечения отрезка с большей окружностью. Найдите , если радиусы окружностей равны и .

Показать разбор

А. Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку , пересекает общую касательную

в точке . Тогда

, то есть медиана

треугольника

равна половине стороны

. Значит,

. Тогда

, поэтому

— диаметр меньшей окружности. Следовательно, прямая

перпендикулярна прямой

Аналогично докажем, что прямая

перпендикулярна прямой

. Прямые

перпендикулярны одной и той же прямой

, значит, они параллельны.

Б. Пусть радиусы окружностей равны

и , где

. Опустим перпендикуляр

из центра меньшей окружности на диаметр

большей. Тогда

Опустим перпендикуляр

из точки на

. Тогда

Отрезок

— высота прямоугольного треугольника

, проведённая из вершины прямого угла, а

— секущие к большей окружности, проведённые из одной точки, поэтому

Следовательно

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта А, и обоснованно получен верный ответ в пункте Б
Обоснованно получен верный ответ в пункте Б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта А, и при обоснованном решении пункта Б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
Имеется верное доказательство утверждения пункта А. ИЛИ При обоснованном решении пункта Б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте Б с использованием утверждения пункта А, при этом пункт А не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса