В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 8. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена... | Яндекс.Репетитор

Задание#T3524

В основании правильной четырёхугольной пирамиды

лежит квадрат

со стороной . Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер

проведена плоскость , параллельная ребру

Докажите, что сечение плоскостью пирамиды является параллелограммом.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .

Показать разбор

А. Пусть точка — середина ребра

, а точка — середина ребра

. Плоскость пересекает плоскость

по отрезку

, параллельному ребру

. Следовательно, плоскость пересекает плоскость

по прямой, параллельной ребру

. На этой прямой лежит средняя линия треугольника

, поэтому плоскость проходит через точку — середину отрезка

. Таким образом, сечение — четырёхугольник

, в котором стороны

параллельны отрезку

и равны его половине. Значит,

— параллелограмм.

Б. Отметим точку — середину отрезка

и рассмотрим плоскость

. Прямая

перпендикулярна прямым

, следовательно, она перпендикулярна плоскости

, поэтому она перпендикулярна отрезку

. Таким образом, отрезок

служит высотой параллелограмма

Сечение пирамиды

плоскостью

— равнобедренный треугольник

. Отрезок

является медианой прямоугольного треугольника

, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник

прямоугольный и равнобедренный, поэтому

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда

Площадь параллелограмма

равна

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта А, и обоснованно получен верный ответ в пункте Б
Верно доказан пункт А. ИЛИ Верно решён пункт Б при отсутствии обоснований в пункте А
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание в разделах:

Стереометрическая задача

Это задание в тестах:

Тренировочный вариант ЕГЭ по математике профильного уровня №26

Задание#T3524

Это задание в разделах:

Это задание в тестах:

Рекомендованные задания