Найдите все значения a, при которых уравнение (x^2 + x + a)^2 = 2x^4 + 2(x + a)^2 имеет единственное решение на отрезке [0; 2]. | Яндекс.Репетитор

Задание#T3555

Найдите все значения , при которых уравнение

имеет единственное решение на отрезке

Показать разбор

Уравнение

равносильно уравнениям

Положим

. Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке

тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен

имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу

, либо

имеет единственный корень на отрезке

, равный или , либо квадратный трёхчлен

принимает при

ненулевые значения разных знаков.

Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен

имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при

, а значит, при

При таком значении уравнение

имеет единственный корень

, он принадлежит отрезку

Рассмотрим второй случай. Имеем

. Значит,

при

. При таком значении уравнение

имеет два решения

на отрезке

. Аналогично

при

. При таком значении уравнение

имеет единственное решение

на отрезке

Рассмотрим третий случай. Значения

имеют разные знаки тогда и только тогда, когда

, или, что то же самое, при

Следовательно, уравнение

имеет единственное решение на отрезке

тогда и только тогда, когда

или

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены все значения , но ответ содержит лишнее значение
С помощью верного рассуждения получены все решения уравнения
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание в разделах:

Задача с параметром

Это задание в тестах:

Тренировочный вариант ЕГЭ по математике профильного уровня №24

Задание#T3555

Это задание в разделах:

Это задание в тестах:

Рекомендованные задания