Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n. Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 181? Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 180? Какое... | Яндекс.Репетитор

Задание#T3556

Пусть

обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа .

Существует ли такое трёхзначное число , что ?
Существует ли такое трёхзначное число , что ?
Какое наименьшее значение может принимать выражение , если — трёхзначное число?

Показать разбор

А. Такое число существует. Например, для числа

имеем

Б. Заметим, что для любого целого числа число либо делится на , если чётно, либо даёт при делении на остаток , если нечётно. Значит, сумма квадратов всех цифр произвольного трёхзначного числа может делиться на , только если квадрат каждой из его цифр делится на , то есть когда все его цифры чётны. Следовательно, если

, то все цифры числа чётны и либо

, либо

. Значит, искомого числа не существует.

В. Пусть

, где , ,

— цифры. Тогда

Наименьшие возможные значения выражений

, где , ,

— цифры, равны

соответственно и достигаются при

. Значит,

При

имеем

. Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение

, если — трёхзначное число, равно

Ответ:

Да;
Нет;
.

Содержание критерия	Баллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах А, Б и В
Получены верные обоснованные ответы в пунктах А и Б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах А и В
Получен верный обоснованный ответ в пункте Б, пункты А и В не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте В, пункты А и Б не решены
Приведён пример в пункте А, пункты Б и В не решены
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание в разделах:

Числа и их свойства

Это задание в тестах:

Тренировочный вариант ЕГЭ по математике профильного уровня №24

Задание#T3556

Это задание в разделах:

Это задание в тестах:

Рекомендованные задания