У Вовы есть набор из n грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными... | Яндекс.Репетитор

Задание#T4434

У Вовы есть набор из грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.

Может ли у Вовы быть ровно грузиков, среди которых есть грузик массой г?
Может ли у Вовы быть ровно грузиков?
Известно, что среди грузиков Вовы самый лёгкий грузик имеет массу г.

Какую наименьшую массу может иметь самый тяжёлый грузик Вовы?

Показать разбор

А. Если у Вовы есть грузики массами г, г, г, г, г и г, то условия задачи выполнены. Действительно, пусть выбраны грузики массами и граммов,

. Если

, то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами

граммов. Если

, то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами

граммов. Если

, то эти грузики уравновешиваются грузиком массой г. Если

, то эти грузики уравновешиваются грузиками с массами г, г и г. Наконец, если

, то эти грузики уравновешиваются грузиками с массами г, г и г.

Б. Пусть у Вовы есть грузики массами (в граммах) , ,

, , , причём

и условия задачи выполнены. Грузики массами и можно уравновесить только тремя оставшимися грузиками. Значит,

. Аналогично грузики массами

и можно уравновесить только тремя оставшимися грузиками. Значит,

. Вычитая левые и правые части двух полученных равенств, получаем

. Отсюда

, и мы приходим к противоречию.

В. По доказанному в пункте Б у Вовы не может быть меньше грузиков.

Предположим, что самые лёгкие шесть грузиков Вовы — это грузики массами (в граммах) , , ,

, , , причём

и условия задачи выполнены.

Допустим, что самый тяжёлый грузик весит г. Тогда у Вовы есть ровно шесть грузиков с массами , , , , и г. Но в этом случае остальными грузиками нельзя уравновесить грузики массами и г. Следовательно, самый тяжёлый грузик весит не меньше г.

Приведём пример подходящего набора: , , , , , и г. Докажем, что любую пару грузиков можно уравновесить набором оставшихся. Пусть выбраны грузики массами и граммов,

. Если

, то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами

граммов. Если

, то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами

граммов. Для оставшихся пар выполняются равенства

Ответ:

Да, например, г, г, г, г, г и г;
нет;
.

Критерии оценки

4 баллаВерно получены все перечисленные (см. критерий на балл) результаты

3 баллаВерно получены три из перечисленных (см. критерий на балл) результатов

2 баллаВерно получены два из перечисленных (см. критерий на балл) результатов

1 баллВерно получен один из следующих результатов:
— обоснованное решение пункта А;
— обоснованное решение пункта Б;
— искомая оценка в пункте В;
— пример в пункте В, обеспечивающий точность предыдущей оценки

0 балловРешение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 8% пользователей.

Это задание в разделах:

Числа и их свойства

Это задание в тестах:

Тренировочный вариант ЕГЭ по математике профильного уровня №31 (диагностическая работа «СтатГрада»)

Задание#T4434

Это задание в разделах:

Это задание в тестах:

Рекомендованные задания