Окружности с центрами в точках и не имеют общих точек, и ни одна
из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении .
Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как .
Показать разбор
Пусть и — точки касания окружностей с общей касательной, — точка пересечения прямых и (см. рисунок). Тогда и как углы между касательной и радиусами, проведёнными в точки касания, как вертикальные углы, поэтому прямоугольные треугольники и подобны.
Следовательно, , значит, радиусы окружностей с центрами в точках и относятся как . Таким образом, и диаметры этих окружностей относятся как .
Критерии оценки
2 баллаДоказательство верное, все шаги обоснованы
1 баллДоказательство в целом верное, но содержит неточности
0 балловРешение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
Это задание решали 7 тыс. раз. С ним справились 11% пользователей.