Приведите пример 5 различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно 105. Можно ли расставить по кругу 8 различных натуральных... | Яндекс.Репетитор

Версия для печати

Задание#T7485

Приведите пример различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно .
Можно ли расставить по кругу различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось , а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся ?
Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно ?

Показать разбор

; ; ; ; .
Нет. Каждое число в круге должно являться делителем числа . Поскольку , делителей всего , включая и . Наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел должно равняться , поэтому рядом с числом может стоять только и число не может находиться в круге. Среди делителей числа есть делителей, кратных и не кратных , делителей, кратных и не кратных , и делителя, кратных и не кратных . Поэтому чисел среди делителей числа кратны или и не кратны их квадратам. Среди чисел, выписанных в круг, не будет числа , поэтому там будет хотя бы одно число, кратное или и не кратное их квадратам. Рядом с таким числом с обеих сторон будут стоять числа, кратные тому же простому числу ( или ), поэтому наибольший общий делитель этих трёх подряд идущих чисел будет больше .
Каждое число, выписанное в круг, обязано быть делителем числа . У числа всего делителей, считая и . Среди этих делителей есть простое число , на квадрат которого делится . Рядом с числом может стоять только число , чтобы их наименьшее общее кратное равнялось (число, стоящее рядом с , должно делиться и на , и на , и на ), поэтому число не может быть написано. Рядом с числами и могут быть написаны только числа и , поэтому если в круге больше чисел, то и не могут одновременно находиться в круге. Аналогично и не могут быть написаны одновременно, поскольку рядом с ними могут быть написаны только числа и . Значит, всего может быть выписано в круг не более чисел. Пример чисел ; ; ; ; ; ; ; показывает, что наибольшее искомое количество чисел равно .

Ответ:

Например, ; ; ; ; ;
нет;
.

Критерии оценки

4 баллаПолучены верные обоснованные ответы в пунктах А, Б и В.

3 баллаПолучены верные обоснованные ответы в пунктах А и Б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах А и В.

2 баллаПолучен верный обоснованный ответ в пункте Б, пункты А и В не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте В, пункты А и Б не решены.

1 баллПриведён пример в пункте А, пункты Б и В не решены.

0 балловРешение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 8% пользователей.

Это задание в разделах:

Числа и их свойства

Это задание в тестах:

Тренировочный вариант ЕГЭ по математике профильного уровня №32 (диагностическая работа «СтатГрада»)

Задание#T7485

Это задание в разделах:

Это задание в тестах:

Рекомендованные задания