В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны а боковые ребра — . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
Найдите расстояние от точки до плоскости .
Показать разбор
A. Проведем через точки и прямые, параллельные . Пусть первая пересечется с прямой в точке , а с прямой в точке . Тогда трапеция является сечением исходной призмы плоскостью .
Построим сечение . Оно пересекает отрезки и в точках и соответственно.
По теореме Пифагора . Из подобия треугольников и видим, что . Аналогичным образом, пользуясь подобием и , получаем, что .
Опустим из точки перпендикуляр к прямой . Обозначим за его основание, а за и — точку пересечения c и соответственно. .
Значит ,
но , откуда следует, что . И еще также обратим внимание, что (как вертикальные). А значит .
Б. Так как прямая параллельна плоскости , то расстояние от любой точки прямой до плоскости будет одинаковым. Задача свелась к поиску расстояния от точки до плоскости .
Проведем отрезок такой, что .
Прямая параллельна (как соответственные) треугольник подобен треугольнику .
.
Ответ: Б. .
Критерии оценки
2 баллаОбоснованно получены верные ответы в пунктах А и Б.
1 баллВыполнен только один из пунктов — А или Б
0 балловРешение не соответствует ни одному из критериев, приведенных выше.
Это задание составили эксперты ЕГЭ-life для Яндекса
Это задание решали 30 тыс. раз. С ним справились 4% пользователей.