Для передачи сообщений используются 8-буквенные кодовые слова, содержащие 3 буквы А, 3 буквы Б и 2 буквы В. Определите общее количество различных кодовых слов, в которых буквы А не стоят рядом. | Яндекс.Репетитор

Задание#T9990

Для передачи сообщений используются -буквенные кодовые слова, содержащие буквы , буквы и буквы .

Определите общее количество различных кодовых слов, в которых буквы не стоят рядом.

Показать разбор и ответ

Назовём расстановку трёх букв на восьми позициях "правильной", если удовлетворяется условие задачи, что никакие две буквы не стоят рядом. Посчитать количество "правильных" расстановок можно по-разному.

Способ 1

Все слова, удовлетворяющие требованию, что буквы не стоят рядом, имеют вид

, где символ обозначает ровно один символ из множества

, а символ — любое количество (в том числе и ноль!) символов из множества

Пусть — количество символов на месте первой "звёздочки", — количество символов на месте второй "звёздочки" и т.д. Тогда получим диофантово уравнение

(по условию задачи, в -буквенном слове имеется ровно три буквы и два обязательных "разделителя" между ними, следовательно, суммарно на все звёздочки остаётся

позиций в слове). Количество решений данного уравнения равно числу сочетаний без повторений, то есть

Способ 2

Рассмотрим два взаимоисключающих случая: 1) буква стоит на первом месте; 2) буква не стоит на первом месте.

Случай 1. Все слова начинаются на букву , после которой следуют оставшиеся букв таким образом, что никакие две буквы не стоят рядом. Очевидно, что перед каждой из двух оставшихся букв обязательно должна стоять какая-то из букв множества

, образуя блок из двух букв, который мы обозначим . Таким образом, необходимо разместить два блока и оставшиеся "обычные" буквы на позициях, что можно сделать

способами.

Случай 2. Если слово не начинается на букву , то в слове имеется три блока и "обычные" буквы на позициях, что даёт

способов их расстановки.

Как было отмечено выше, случаи и не могут наступить одновременно, поэтому справедливо правило суммы комбинаторики и общее количество "правильных" расстановок равно

Заключительный этап

После "правильной" расстановки трёх букв на восьми позициях, свободных позиций в слове останется пять. Имеется

способов выбрать позиции из для трёх букв . Оставшиеся позиции будут заняты буквами единственным способом.

Ограничений на взаимное расположение букв , и "правильных" расстановок буквы нет, поэтому применимо правило произведения комбинаторики, следовательно, ответом будет

различных кодовых слов.

Ответ: 200

Это задание составил Дмитрий Богданов специально для Яндекса

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 25% пользователей.

Это задание в разделах:

Информационный поиск средствами операционной системы или текстового процессора

Задание#T9990

Это задание в разделах:

Рекомендованные задания