Задание 10. Задачи с прикладным содержанием: механика

Механика

Задание

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Коля бросает небольшие камешки в колодец, измеряя время их падения, и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t2h=5t^2, где hh – расстояние в метрах, tt – время падения в секундах. До дождя камушки падали 1,6 с.
На сколько поднялся уровень воды после дождя, если измеряемое время уменьшилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Задание

Для поддержания балкона планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление PP (в паскалях), оказываемое балконом и колонной на опору, определяется по формуле P=4mgπD2P=\frac{4mg}{\pi D^2}, где
m=6000m= 6000 кг — общая масса балкона и колонны,
DD — диаметр колонны (в метрах).
Считая ускорение свободного падения g=10g=10 м/с2^2, а π=3\pi= 3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть превышать 500000500000 Па.
Ответ выразите в метрах.

Задание

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=H02gH0kt+g2k2t2H(t)=H_0-\sqrt{2g H_0}kt+{g\over 2}k^2t^2, где tt — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0=20H_0=20 м — начальная высота столба воды, k=150k={1\over 50} — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а gg — ускорение свободного падения (считайте g=10м/с2g=10 м/с^{2}).
Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

Задание

Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1,6+8t5t2h(t) = 1,6 + 8t - 5t^2, где hh – высота в метрах, tt – время в секундах, прошедшее с момента броска.
Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров?

Задание

В физике элементарных частиц используется своя система единиц, в которой скорость безразмерна; масса имеет ту же размерность, что и энергия, и измеряются они в электронвольтах. При движении с релятивистскими скоростями, кинетическая энергия TT движущейся частицы равна mc2(11v2c21),mc^{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} }} - 1 \right), где mm — масса покоя частицы, cc — скорость света в вакууме, vv — скорость движения частицы. Известно, что протон массой 938938 МэВ (мегаэлектронвольт) движется с кинетической энергией 234,5234{,}5 МэВ. Чему равна скорость протона, если принять скорость света cc за 11?

Задание

При равноускоренном движении колеса троллейбуса его угловая скорость ω\omega (измеряемая в градусах в секунду) и угловое ускорение ε\varepsilon связаны соотношением ω2ω02=2εφ,\omega^{2} - \omega^{2}_0 = 2\varepsilon \varphi, где ω0\omega_0 — начальная угловая скорость колеса, φ\varphi — угол поворота колеса, измеряемый в градусах. Отъезжая от остановки, троллейбус начинает равноускоренное движение с ускорением 80/с2.80^{\circ} / \text{с}^{2}. Сколько полных оборотов сделает колесо троллейбуса к тому времени, как его угловая скорость достигнет значения 540/с540^{\circ} / \text{с}? Полный оборот колеса равен 360.360^{\circ}.

Задание

Два тела массой m=7m = 7 кг каждое движутся с одинаковой скоростью v=9v = 9 м/с под углом 2α2\alpha друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле Q=mv2sin2αQ=mv^{2}\sin ^{2}\alpha, где mm — масса (в кг), vv — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом 2α2\alpha должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 567567 Дж. Ответ дайте в градусах.

Задание

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v0=21v_{0}=21 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a=3a=3 м/с. За tt секунд после начала торможения он прошёл путь S=v0tat22S=v_{0}t-\frac{at^{2}}{2} (м).
Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 6060 метров.
Ответ выразите в секундах.

Задание

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v0=22v_{0}=22 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a=4a=4 м/с2^{2}. За tt секунд после начала торможения он прошёл путь S=v0tat22S=v_{0}t-\frac{at^{2}}{2} (м).
Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 6060 метров.
Ответ выразите в секундах.

Задание

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a=9000a=9000 км/ч2^{2}. Скорость vv (в км/ч) вычисляется по формуле v=2lav=\sqrt{2la}, где ll — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 120120 км/ч.

Задание

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a=4500a=4500 км/ч2^{2}. Скорость vv (в км/ч) вычисляется по формуле v=2lav=\sqrt{2la}, где ll — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.

Задание

В процессе движения по взлетно-посадочной полосе самолет должен разогнаться из состояния покоя до скорости отрыва от земли. При этом он движется по закону равноускоренного движения: v122v022=as\frac{v_1^2}{2}-\frac{v_0^2}{2}=as, где v0v_0 — начальная скорость, aa — ускорение, а v1v_1 и ss — соответственно скорость и пройденный путь по истечении некоторого промежутка времени. Определите, какую скорость приобрел самолет в момент отрыва от земли, при условии, что он двигался с ускорением a=2,5a=2,5 м/с2^2 , а длина разбега составила s=1125s=1125 м.
Выразите ответ в км/ч.

Задание

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением
v=cff0f+f0v = c \cdot \frac{f-f_{0}}{f+f_{0}},
где c=1500c =1500 м/с — скорость звука в воде, f0f_{0} — частота испускаемого сигнала (в МГц), ff — частота отражённого сигнала (в МГц).
Найдите частоту отражённого сигнала, если батискаф погружается со скоростью 22 м/с и дайте ответ в МГц.

Задание

В дне высокого цилиндрического бака с водой имеется кран. Кран открывают, и вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=at2+bt+H0H (t) = at^2 + bt + H_0, где H0=5H_0 = 5 м — начальный уровень воды, a=120a = \frac{1}{20} м/мин2^2 и b=1b = –1 м/мин2^2 ― постоянные, tt — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Через сколько минут вода полностью вытечет из бака?

Задание

Зависимость амплитуды колебаний маятника от частоты вынуждающей силы определяется по формуле A(ω)=A0ωp2ωp2ω2A(\omega) = \frac{A_0\omega_p^2}{|\omega_p^2-\omega^2|}, где ω\omega — частота вынуждающей силы (в с1^{-1}), A0A_0 — постоянный параметр, ωp=819\omega_p = 819 c1^{-1} — резонансная частота. Найдите максимальную частоту ω\omega, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A0A_0 не более чем на 80%80\%.
Ответ выразите в с1^{-1}.