Задание 14. Стереометрическая задача: все задания

Остальные задачи

Задание

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1ABCA_1B_1C_1 имеют длину 66. Точки MM и NN — середины рёбер AA1AA_1 и A1C1A_1C_1 соответственно.
  1. Докажите, что прямые BMBM и MNMN перпендикулярны.
  2. Найдите угол между плоскостями BMNBMN и ABB1ABB_1.

Задание

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCDMABCD лежит квадрат ABCDABCD со стороной 66. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MAMA и MBMB проведена плоскость α\alpha, параллельная ребру MCMC.
  1. Докажите, что сечение плоскостью α\alpha пирамиды MABCMABC является параллелограммом.
  2. Найдите площадь сечения пирамиды MABCMABC плоскостью α\alpha.

Задание

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCDMABCD лежит квадрат ABCDABCD со стороной 44. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MAMA и MBMB проведена плоскость α\alpha, параллельная ребру MCMC.
  1. Докажите, что сечение плоскостью α\alpha пирамиды MABCMABC является параллелограммом.
  2. Найдите площадь сечения пирамиды MABCMABC плоскостью α\alpha.

Задание

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCDMABCD лежит квадрат ABCDABCD со стороной 88. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MAMA и MBMB проведена плоскость α\alpha, параллельная ребру MCMC.
  1. Докажите, что сечение плоскостью α\alpha пирамиды MABCMABC является параллелограммом.
  2. Найдите площадь сечения пирамиды MABCMABC плоскостью α\alpha.

Задание

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCDMABCD лежит квадрат ABCDABCD со стороной 1010. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MAMA и MBMB проведена плоскость α\alpha, параллельная ребру MCMC.
  1. Докажите, что сечение плоскостью α\alpha пирамиды MABCMABC является параллелограммом.
  2. Найдите площадь сечения пирамиды MABCMABC плоскостью α\alpha.

Задание

Сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью α\alpha, содержащей прямую BD1BD_1 и параллельной прямой ACAC, является ромб.
  1. Докажите, что грань ABCDABCD - квадрат.
  2. Найдите угол между плоскостями α\alpha и BCC1BCC_1, если AA1=6,AA_1=6, AB=4AB=4.

Задание

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCDMABCD лежит квадрат ABCDABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MAMA и MBMB проведена плоскость α\alpha, параллельная ребру MCMC.
  1. Докажите, что плоскость α\alpha параллельна ребру MDMD.
  2. Найдите угол между плоскостью α\alpha и прямой ACAC.

Задание

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCDMABCD лежит квадрат ABCDABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MAMA и MBMB проведена плоскость α\alpha, параллельная ребру MDMD.
  1. Докажите, что плоскость α\alpha параллельна ребру MCMC.
  2. Найдите угол между плоскостью α\alpha и прямой BDBD.

Задание

Дан прямой круговой цилиндр высотой 99 и радиусом 22. В одном из оснований проведена хорда ABAB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CDCD, перпендикулярный прямой ABAB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNMABNM, перпендикулярной прямой CDCD, причём точка CC и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CDCD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.
  1. Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNMABNM равны.
  2. Найдите объём пирамиды CABNMCABNM.

Задание

Дан прямой круговой цилиндр высотой 33 и радиусом 88. В одном из оснований проведена хорда ABAB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CDCD, перпендикулярный прямой ABAB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNMABNM, перпендикулярной прямой CDCD, причём точка CC и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CDCD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.
  1. Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNMABNM равны.
  2. Найдите объём пирамиды CABNMCABNM.

Задание

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1ABCA_{1}B_{1}C_{1} все рёбра равны 66. Через точки A,C1A, C_{1} и середину ребра TT ребра A1B1A_{1}B_{1} проведена плоскость.
  1. Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
  2. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABCABC.

Задание

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1ABCA_{1}B_{1}C_{1} все рёбра равны 44. Через точки A,C1A, C_{1} и середину TT ребра A1B1A_{1}B_{1} проведена плоскость.
  1. Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
  2. Найдите тангенс угла между плоскостью сечения и плоскостью ABCABC.

Задание

Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α\alpha, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 11 к 33.
  1. Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 4545^{\circ}
  2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α\alpha, если боковое ребро пирамиды равно 44.

Задание

Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α\alpha, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 11 к 33.
  1. Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 4545^{\circ}
  2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α\alpha, если боковое ребро пирамиды равно 22.

Задание

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1 стороны основания равны 4,4, а боковые ребра — 222\sqrt{2}. На рёбрах ABAB и A1D1A_1D_1 отмечены точки PP и QQ соответственно, причём AP=D1Q=1AP = D_1Q = 1. Плоскость γ\gamma параллельна прямой BDBD и содержит точки PP и QQ.
  1. Докажите, что прямая A1CA_1C перпендикулярна плоскости γ\gamma.
  2. Найдите расстояние от точки DD до плоскости γ\gamma.