Задание 16. Планиметрическая задача: все задания

Остальные задачи

Задание

Две окружности касаются внешним образом в точке KK. Прямая AB касается первой окружности в точке AA, а второй — в точке BB. Прямая BKBK пересекает первую окружность в точке DD, прямая AKAK пересекает вторую окружность в точке CC.
  1. Докажите, что прямые ADAD и BCBC параллельны.
  2. Найдите площадь треугольника AKBAKB, если известно, что радиусы окружностей равны 44 и 11.

Задание

Две окружности касаются внешним образом в точке CC. Прямая касается меньшей окружности в точке AA, а большей — в точке BB, отличной от AA. Прямая ACAC вторично пересекает бóльшую окружность в точке DD, прямая BCBC вторично пересекает меньшую окружность в точке EE.
  1. Докажите, что прямая AEAE параллельна прямой BDBD.
  2. Пусть LL — отличная от DD точка пересечения отрезка DEDE с большей окружностью. Найдите ELEL, если радиусы окружностей равны 22 и 55.

Задание

Две окружности касаются внешним образом в точке CC. Прямая касается меньшей окружности в точке AA, а большей — в точке BB, отличной от AA. Прямая ACAC вторично пересекает бóльшую окружность в точке DD, прямая BCBC вторично пересекает меньшую окружность в точке EE.
  1. Докажите, что прямая AEAE параллельна прямой BDBD.
  2. Пусть LL — отличная от DD точка пересечения отрезка DEDE с большей окружностью. Найдите ELEL, если радиусы окружностей равны 22 и 33.

Задание

Две окружности касаются внешним образом в точке CC. Прямая касается меньшей окружности в точке AA, а большей — в точке BB, отличной от AA. Прямая ACAC вторично пересекает бóльшую окружность в точке DD, прямая BCBC вторично пересекает меньшую окружность в точке EE.
  1. Докажите, что прямая AEAE параллельна прямой BDBD.
  2. Пусть LL — отличная от DD точка пересечения отрезка DEDE с большей окружностью. Найдите ELEL, если радиусы окружностей равны 11 и 44.

Задание

Две окружности касаются внешним образом в точке CC. Прямая касается меньшей окружности в точке AA, а большей — в точке BB, отличной от AA. Прямая ACAC вторично пересекает бóльшую окружность в точке DD, прямая BCBC вторично пересекает меньшую окружность в точке EE.
  1. Докажите, что прямая AEAE параллельна прямой BDBD.
  2. Пусть LL — отличная от DD точка пересечения отрезка DEDE с большей окружностью. Найдите ELEL, если радиусы окружностей равны 11 и 33.

Задание

В треугольнике ABCABC точки A1A_1, B1B_1 и C1C_1 - середины сторон BCBC, ACAC и ABAB соответственно, AHAH - высота, BAC=60°\angle BAC=60\degree, BCA=45°\angle BCA=45\degree.
  1. Докажите, что точки A1A_1, B1B_1, C1C_1 и HH лежат на одной окружности
  2. Найдите A1HA_1H, если BC=23BC=2\sqrt{3}

Задание

На сторонах ACAC и BCBC треугольника ABCABC вне его построены квадраты ACDEACDE и CBFGCBFG. Точка MM — середина стороны ABAB.
  1. Докажите, что точка MM равноудалена от центров квадратов.
  2. Найдите площадь треугольника DMGDMG, если AC=6AC=6, BC=8BC=8, AB=10AB=10.

Задание

На сторонах ACAC и BCBC треугольника ABCABC вне его построены квадраты ACDEACDE и CBFGCBFG. Точка MM — середина стороны ABAB.
  1. Докажите, что точка MM равноудалена от центров квадратов.
  2. Найдите площадь треугольника DMGDMG, если AC=30AC=30, BC=40BC=40, AB=50AB=50.

Задание

Прямая, проходящая через вершину BB прямоугольника ABCDABCD перпендикулярно диагонали ACAC, пересекает сторону ADAD в точке MM, равноудалённой от вершин BB и DD.
  1. Докажите, что ABM=30\angle ABM = 30^\circ.
  2. Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CMCM, если BC=9BC = 9.

Задание

Прямая, проходящая через вершину BB прямоугольника ABCDABCD перпендикулярно диагонали ACAC, пересекает сторону ADAD в точке MM, равноудалённой от вершин BB и DD.
  1. Докажите, что ABM=30\angle ABM = 30^\circ.
  2. Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CMCM, если BC=621.BC = 6\sqrt {21} .

Задание

Дан треугольник ABCABC со сторонами AC=30,BC=40AC = 30, BC = 40 и AB=50AB = 50. Вписанная в него окружность с центром II касается стороны BCBC в точке L,ML, M — середина BC,APBC, AP — биссектриса треугольника ABC,OABC, O — центр описанной около него окружности.
  1. Докажите, что PP — середина отрезка LMLM.
  2. Пусть прямые OIOI и ACAC пересекаются в точке KK, а продолжение биссектрисы APAP пересекает описанную окружность в точке QQ. Найдите площадь четырёхугольника OKCQOKCQ.

Задание

Дан треугольник ABCABC со сторонами AC=6,BC=8AC = 6, BC = 8 и AB=10AB = 10. Вписанная в него окружность с центром II касается стороны BCBC в точке L,ML, M — середина BC,APBC, AP — биссектриса треугольника ABC,OABC, O — центр описанной около него окружности.
  1. Докажите, что PP — середина отрезка LMLM.
  2. Пусть прямые OIOI и ACAC пересекаются в точке KK, а продолжение биссектрисы APAP пересекает описанную окружность в точке QQ. Найдите площадь четырёхугольника OKCQOKCQ.

Задание

Дана трапеция KLMNKLMN с основаниями KNKN и LMLM. Около треугольника KLNKLN описана окружность, прямые LMLM и MNMN — касательные к этой окружности.
  1. Докажите, что треугольники LMNLMN и KLNKLN подобны.
  2. Найдите площадь треугольника KLNKLN, если известно, что KN=3KN = 3, а LMN=120\angle LMN = 120^{\circ}.

Задание

Дана трапеция KLMNKLMN с основаниями KNKN и LMLM. Около треугольника KLNKLN описана окружность, прямые LMLM и MNMN — касательные к этой окружности.
  1. Докажите, что треугольники LMNLMN и KLNKLN подобны.
  2. Найдите площадь треугольника KLNKLN, если известно, что KN=6KN = 6, а LMN=120\angle LMN = 120^{\circ}.

Задание

На сторонах ADAD и CDCD ромба ABCDABCD отмечены точки JJ, II и LL, KK соответственно. Причем так, что AI:IJ:JD=CL:LK:KD=3:5:4AI:IJ:JD=CL:LK:KD=3:5:4.
  1. Докажите, что прямые BLBL, BKBK, BJBJ и BIBI делят меньшую диагональ ACAC на 55 равных отрезков.
  2. Найдите площадь треугольника AJMAJM, где ММ — точка пересечения прямых KAKA и BJ,BJ, если дополнительно известно, что площадь ромба равна 7272.