Задание 16. Планиметрическая задача: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

1. Задание#T30150

Окружность проходит через вершины и треугольника

и пересекает

в точках и соответственно.

Докажите, что треугольник подобен треугольнику
Найдите радиус данной окружности, если и площадь треугольника в семь раз меньше площади четырёхугольника

Показать разбор

А. Заметим, что

Четырёхугольник

вписан в окружность, поэтому

Значит,

Следовательно, треугольники

подобны по двум углам.

Б. Площадь треугольника

в семь раз меньше площади четырёхугольника

поэтому площадь треугольника

в восемь раз больше площади треугольника

и коэффициент подобия этих треугольников равен

Пусть

тогда

Найдём

по теореме косинусов:

Следовательно,

Теперь по теореме синусов из треугольника

получаем

Но

поскольку синусы смежных углов равны.

Получаем

Теперь находим радиус окружности, описанной около треугольника

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 10 тыс. раз. С ним справились 32% пользователей.

2. Задание#T30131

Окружность проходит через вершины и треугольника

и пересекает

в точках и соответственно.

Докажите, что треугольник подобен треугольнику
Найдите радиус данной окружности, если и площадь треугольника в восемь раз меньше площади четырёхугольника

Показать разбор

А. Заметим, что

Четырёхугольник

вписан в окружность, поэтому

Значит,

Следовательно, треугольники

подобны.

Б. Площадь треугольника

в восемь раз меньше площади четырёхугольника

поэтому площадь треугольника

в девять раз больше площади треугольника

и коэффициент подобия этих треугольников равен

Пусть

тогда

Найдём

по теореме косинусов:

Следовательно,

Теперь по теореме синусов из треугольника

получаем

Но

поскольку синусы смежных углов равны.

Получаем

Теперь находим радиус окружности, описанной около треугольника

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 5 тыс. раз. С ним справились 32% пользователей.

3. Задание#T29221

В треугольнике

проведена биссектриса

Прямая, проходящая через вершину перпендикулярно

пересекает сторону

в точке

А. Докажите, что биссектриса угла делит отрезок

пополам.

Б. Пусть — точка пересечения биссектрис треугольника

Найдите отношение

Показать разбор

А. По теореме о биссектрисе треугольника

а поскольку

получаем

В треугольнике

биссектриса угла

перпендикулярна стороне

значит, этот треугольник равнобедренный. Поэтому

В равнобедренном треугольнике

биссектриса, проведённая из вершины является медианой, следовательно, она делит основание

пополам.

Б.

— биссектриса треугольника

поэтому

Прямая

— серединный перпендикуляр к отрезку

поэтому

Следовательно,

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

4. Задание#T29219

Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника, делит его площадь пополам, а другой — в отношении

Докажите, что данный четырёхугольник — трапеция.
Найдите отношение оснований этой трапеции.

Показать разбор

А. Пусть и — середины сторон соответственно

четырёхугольника

причём отрезок

делит площадь четырёхугольника пополам. Отрезок

— медиана треугольника

поэтому

Тогда

Треугольники

с равными сторонами

равновелики, значит, их высоты

опущенные на эти стороны, равны. Следовательно,

т. е. четырёхугольник

— трапеция или параллелограмм.

Пусть и — середины сторон

соответственно. Предположим, что

Тогда отрезок

разбивает параллелограмм на две равновеликие части, что противоречит условию задачи. Таким образом, четырёхугольник

— трапеция с основаниями

Б. Пусть высота трапеции равна

Тогда

так как

— средняя линия трапеции. Поэтому

а так как

то

Отсюда находим, что

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

5. Задание#T29217

Точка — середина боковой стороны

трапеции

На стороне

отмечена точка так, что

Отрезки

пересекаются в точке

Докажите, что
Найдите отношение оснований и если площадь треугольника составляет площади трапеции.

Показать разбор

А. Пусть прямые

пересекаются в точке Треугольники

равны по стороне (

) и двум прилежащим к ней углам. Значит,

т. е.

— медиана треугольника

а так как

то

— медиана треугольника

т. е. — середина отрезка

Б. Обозначим

Из равенства треугольников

следует, что треугольник

равновелик трапеции

Значит, площадь треугольника

составляет

площади подобного ему треугольника

Тогда коэффициент подобия равен

, т. е.

откуда

Из этого равенства находим, что

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

6. Задание#T29216

Окружность проходит через вершины

и параллелограмма

а также через точки и которые лежат на продолжениях сторон

за вершину соответственно.

Докажите, что
Найдите отношение если

Показать разбор

А. Трапеция

вписана в окружность, значит, она равнобокая. Диагонали равнобокой трапеции равны, поэтому

Трапеция

вписана в окружность, значит, она также равнобокая, поэтому

Следовательно,

Б. Треугольники

подобны по двум углам, поэтому

Четырёхугольник

вписан в окружность, значит,

Вписанные углы

опираются на одну и ту же дугу, поэтому

Применив теорему синусов к треугольнику

получим, что

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

7. Задание#T29215

Точка — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника

— высота этого треугольника.

Докажите, что углы и равны.
Найдите если

Показать разбор

А. Пусть

— перпендикуляр, опущенный из центра окружности на сторону

Тогда — середина основания

равнобедренного треугольника

Поскольку треугольник

остроугольный, центр его описанной окружности лежит внутри треугольника. Значит,

— центральный угол, соответствующий вписанному углу

поэтому

Два угла прямоугольного треугольника

соответственно равны двум углам прямоугольного треугольника

значит, третьи углы этих треугольников также равны, т. е.

Б. Обозначим

Прямоугольные треугольники

подобны по двум углам, поэтому

или

Отсюда находим, что

Следовательно,

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 28 раз. С ним справились 64% пользователей.

8. Задание#T29214

Высоты треугольника

с тупым углом

пересекаются в точке Угол

равен

Докажите, что угол равен
Найдите если

Показать разбор

А. Пусть

— высоты треугольника

Поскольку угол

тупой, точка пересечения прямых

лежит вне треугольника

При этом точки и лежат по одну сторону от прямой

В четырёхугольнике

углы при вершинах и равны по

значит, сумма двух других углов этого четырёхугольника равна

Следовательно,

Б. Пусть — центр окружности, описанной около треугольника

— середина стороны

Известно, что

(Действительно, если — середина стороны

то

— средняя линия треугольника

значит,

Прямая

— серединный перпендикуляр к стороне

а так как

то

Прямые

также параллельны, т. е. обе они перпендикулярны прямой

Значит, стороны треугольника

соответственно параллельны сторонам треугольника

Эти треугольники подобны с коэффициентом так как

Следовательно,

)

Поскольку угол

тупой, точки и лежат по разные стороны от прямой

Градусная мера дуги

не содержащей точки вдвое больше градусной меры вписанного угла

т. е. равна

Тогда градусная мера дуги

равна

Значит, соответствующий этой дуге центральный угол

также равен

По теореме косинусов

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Следовательно

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

9. Задание#T29213

Угол треугольника

равен

Окружность, вписанная в треугольник, касается его стороны

в точке

Докажите, что отрезок меньше трёх радиусов этой окружности.
Найдите синус угла если в раза больше радиуса окружности.

Показать разбор

А. Пусть

— радиус вписанной окружности треугольника

— её центр, — точка касания со стороной

Поскольку

— биссектриса угла

угол

равен

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Точка не лежит на отрезке

так как

Применив неравенство треугольника к треугольнику

получим, что

Б. Предположим, что

Тогда

По теореме косинусов

Если же

аналогично получим тот же результат.

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

10. Задание#T29212

Две окружности касаются внутренним образом в точке причём меньшая окружность проходит через центр большей. Диаметр

большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке

отличной от Лучи

пересекают большую окружность в точках и соответственно. Точка лежит на дуге

большей окружности, не содержащей точку .

Докажите, что прямые и параллельны.
Известно, что Прямые и пересекаются в точке Найдите отношение

Показать разбор

А. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точка лежит на диаметре

большей окружности, а

— диаметр меньшей окружности.

Точка лежит на окружности с диаметром

поэтому

Значит,

Точка лежит на окружности с диаметром

значит,

Прямые

перпендикулярны одной и той же прямой

значит,

Следовательно,

Б. Обозначим

Заметим,

Тогда

Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому

(

— градусные меры дуг

не содержащих точек и соответственно). Значит, луч

— биссектриса угла

— биссектриса прямоугольного треугольника

Следовательно,

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

11. Задание#T29211

Окружность с центром касается оснований

и боковой стороны

трапеции

Окружность с центром касается сторон

Известно, что

Докажите, что прямая параллельна основаниям трапеции
Найдите

Показать разбор

А. Пусть окружности с центрами и касаются прямой

в точках и соответственно, а прямой

— в точках и соответственно. Тогда точки и — середины противоположных сторон

прямоугольника

Значит,

Следовательно,

Б. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому

— биссектрисы углов при боковой стороне

трапеции

Пусть прямая

пересекает основание

в точке Тогда

поэтому треугольник

равнобедренный,

Значит, его биссектриса

является высотой и медианой. При этом

значит,

— параллелограмм, поэтому

Пусть — точка касания с боковой стороной

окружности с центром

Тогда

— высота прямоугольного треугольника

проведённая из вершины прямого угла. В этом треугольнике известно, что

Значит,

Пусть радиус окружностей равен Тогда

Пусть — точка касания первой окружности со стороной

Обозначим

Тогда

Угол

острый, так как он равен углу

при основании равнобедренного треугольника, поэтому

т. е.

Радиус

— высота прямоугольного треугольника

проведённая из вершины прямого угла. Значит,

или

Из этого уравнения и условия

находим, что

Следовательно,

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 19 раз. С ним справились 63% пользователей.

12. Задание#T29210

Окружность с центром высекает на всех сторонах трапеции

равные хорды.

Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются одной точке.
Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону в точках и так, что

Показать разбор

А. Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому точка равноудалена от всех сторон трапеции. Следовательно, — точка пересечения биссектрис всех углов трапеции, т. е. эти биссектрисы пересекаются в точке

Б. Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из точки на боковую сторону

Тогда — середина хорды

Треугольник

прямоугольный, так как лучи

— биссектрисы углов, сумма которых равна

Значит,

— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

Расстояния от точки до оснований трапеции также равны следовательно, высота трапеции равна

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 6 раз. С ним справились 100% пользователей.

13. Задание#T9250

Две окружности касаются внешним образом в точке

Прямая

касается первой окружности в точке а второй — в точке Прямая

пересекает первую окружность в точке прямая

пересекает вторую окружность в точке

а) Докажите, что прямые

параллельны.

б) Найдите площадь треугольника

если известно, что радиусы окружностей равны и

Показать разбор

а) Обозначим центры окружностей и соответственно.

Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке пересекает

в точке

По свойству касательных, проведённых из одной точки,

Треугольник

у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. Вписанный угол

прямой, поэтому он опирается на диаметр

Значит,

Аналогично получаем, что

Следовательно, прямые

параллельны.

б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус а вторая — радиус

Треугольники

подобны,

Пусть

тогда

У треугольников

общая высота, следовательно,

т.е.

Аналогично,

Площадь трапеции

равна

Вычислим площадь трапеции

Проведём к

перпендикуляр

равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника

Тогда

Следовательно,

откуда

Ответ:

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

Это задание решали 45 тыс. раз. С ним справились 5% пользователей.

14. Задание#T7952

На сторонах

ромба

отмечены точки , и , соответственно. Причем так, что

Докажите, что прямые , , и делят меньшую диагональ на равных отрезков.
Найдите площадь треугольника , где — точка пересечения прямых и если дополнительно известно, что площадь ромба равна .