Задание 19. Числа и их свойства: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

1. Задание#T30153

На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры

и (

и т. д.).

Есть ли среди них число, которое делится на
Есть ли среди них число, которое делится на
Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на

Показать разбор

А. Да. Например, число

Б. Предположим, что такое число есть и его десятичная запись имеет вид

где

и — это различные, расставленные в некотором (возможно, ином) порядке цифры

и Поскольку число

делится на

получаем, что оно делится на

Значит,

Имеем

Следовательно, разность

делится на

и найдётся такое натуральное число

что

Так как

может принимать значения

или отсюда получаем, что может принимать значения

или соответственно. Если

то

Если

то

Пришли к противоречию.

В. Пусть

— это десятичная запись какого-либо числа с доски. Имеем

Число

делится на тогда и только тогда, когда число

делится на Сумма цифр каждого из чисел с доски равна

Значит,

Поскольку

может принимать значения от до получаем, что число

делится на тогда и только тогда, когда

то есть когда и — это различные, расставленные в некотором (возможно, ином) порядке цифры и Среди чисел указанного вида наибольшим числом на доске является

Ответ:

Да;
нет;

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 11 тыс. раз. С ним справились 45% пользователей.

2. Задание#T30134

На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры

и (

и т. д.).

Есть ли среди них число, которое делится на
Есть ли среди них число, которое делится на
Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на

Показать разбор

А. Да. Например, число

Б. Предположим, что такое число есть и его десятичная запись имеет вид

где

и — это различные, расставленные в некотором (возможно, ином) порядке цифры

и Поскольку число

делится на

получаем, что оно делится на

и Значит,

Имеем

Следовательно, разность

делится на

и найдётся такое натуральное число

что

Так как

может принимать значения

или отсюда получаем, что может принимать значения

или соответственно. Если

то

Если

то

Пришли к противоречию.

В. Пусть

— это десятичная запись какого-либо числа с доски. Имеем

Число

делится на тогда и только тогда, когда число

делится на Сумма цифр каждого из чисел с доски равна

Значит,

Поскольку

может принимать значения от до получаем, что число

делится на тогда и только тогда, когда

Ответ:

Да;
Нет;

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 5 тыс. раз. С ним справились 47% пользователей.

3. Задание#T19576

Найдите все четырёхзначные чётные числа, у которых ровно 22 делителя.

В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания.

Показать ответ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 19% пользователей.

4. Задание#T19575

На доске написано: 72 ∗ 3∗. Замените звёздочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 45.

Приведите все возможности для получившихся чисел.

В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания.

Показать ответ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 36% пользователей.

5. Задание#T19574

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — семизначное число, состоящее из двоек и троек. Известно, что в кодовом числе двоек больше, чем троек. Кроме того, известно, что кодовое число делится на 3 и на 4.

Найдите код сейфа.

Показать ответ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 57% пользователей.

6. Задание#T19573

Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, при зачёркивании первой цифры у которых получается число, также являющееся степенью двойки.

В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания.

Показать ответ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 61% пользователей.

7. Задание#T19572

Про пару натуральных чисел известно, что их разность равна 66, а их НОК равно 360.

Найдите меньшее число из этой пары.

Показать ответ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 41% пользователей.

8. Задание#T19571

Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Показать ответ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 19% пользователей.

9. Задание#T9253

В школах

учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, учащихся, а суммарно тест писали учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы

в школу

а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

Мог ли средний балл в школе уменьшиться в раз?
Средний балл в школе уменьшился на средний балл в школе также уменьшился на Мог ли первоначальный средний балл в школе равняться
Средний балл в школе уменьшился на средний балл в школе также уменьшился на Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе

Показать разбор

А. Пусть в школе

писали тест учащихся, один из них набрал балл, а второй набрал баллов и перешёл в школу

Тогда средний балл в школе

уменьшился в раз.

Б. Пусть в школе

писали тест учащихся, средний балл равнялся а перешедший в неё учащийся набрал баллов. Тогда получаем:

Если

то

не делится на а

делится на Но это невозможно, поскольку

В. Пусть в школе

средний балл равнялся Тогда получаем:

Заметим, что если

или

то

не делится на Если

или

то

В первом случае

а во втором

Значит, ни один из этих случаев не возможен.

При

получаем

Этот случай реализуется, например, если в школе

писали тест учащихся, из них набрали по баллу, а

по балла, в школе

писали тест учащихся и каждый набрал по баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося балла.

Ответ:

да
нет
5

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

Это задание решали 45 тыс. раз. С ним справились 7% пользователей.

10. Задание#T7955

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по , по и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число , выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число , а остальные числа, равные , стираются. Например, если задуманы числа

, то на доске будет записан набор

Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор .
Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор ?
Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор .

Показать разбор

А. Числа

дают указанный набор.

Б. Последнее число во вторичном ряду является суммой всех чисел первичного набора. В первичном наборе наименьшее возможное число — . Значит, если сумма всех чисел первичного набора равна , то ближайшее перед число может быть получено вычитанием из общей суммы, что равно . Что противоречит условию, что во вторичном наборе есть число

не существует.

В. В первичном наборе должны быть числа

. Потому что ни одно из них не может быть получено какой-либо комбинацией сумм меньших чисел.

С учетом того, что в конце вторичного набора стоит сумма всего первичного набора, получаем, что сумма оставшихся чисел первичного набора должна быть равна

, что достигается при добавлению к первичной тройке чисел

числа или двух чисел , . Следовательно возможные наборы —

или

Осталось проверить, найдутся ли все значения вторичного ряда из указанного первичного набора. Рассмотрим набор

Для случая

подходят эти же примеры, просто вместо надо писать сумму

Ответ:

да
нет
или

Это задание составили эксперты ЕГЭ-life для Яндекса

Это задание решали 30 тыс. раз. С ним справились 5% пользователей.

11. Задание#T7542

Бесконечная арифметическая прогрессия

состоит из различных натуральных чисел.

Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел ровно три числа делятся на ?
Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел ровно чисел делятся на ?
Для какого наибольшего натурального может оказаться так, что среди чисел больше кратных , чем среди чисел ?

Показать разбор

Решение.

А) Подходящим примером является прогрессия с первым членом и разностью . Среди первых семи её членов (

) ровно три делятся на .

Б) Обозначим через разность арифметической прогрессии

Из условия следует, что — натуральное число. Пусть и — натуральные числа,

, НОД (

) обозначает наибольший общий делитель чисел и . Имеем

Следовательно, разность

делится на тогда и только тогда, когда разность

делится на

Значит, если среди членов арифметической прогрессии

есть кратные , то это члены с номерами вида

, где — номер первого члена, кратного

, а пробегает все неотрицательные целые числа.

Поэтому среди любых последовательных членов прогрессии

ровно один будет делиться на .

Если

, то

и среди чисел

будет по крайней мере чисел, кратных . Если же

, то

и среди чисел

будет не более чисел, кратных . Значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел

ровно чисел делятся на .

В) Обозначим через целую часть числа — наименьшее целое число, не превосходящее . По доказанному в пункте Б) среди любых последовательных членов прогрессии

ровно один будет делиться на , где

, — разность арифметической прогрессии.

Значит, среди чисел

кратными будут не более

чисел. Аналогично среди чисел

кратными будут не менее

чисел.

Неравенство

выполнено тогда и только тогда, когда

. Пусть это равенство выполнено. Тогда разность между числами

меньше .

Получаем, что

Значит,

. Поскольку число не превосходит , отсюда следует, что

Рассмотрим прогрессию с первым членом и разностью . Тогда среди чисел

ровно два делятся на (

). Среди чисел

ровно одно делится на (

). Этот пример показывает, что может равняться .

Ответ:

Да, например, прогрессия ;
нет;
.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 24 тыс. раз. С ним справились 8% пользователей.

12. Задание#T7523

Бесконечная арифметическая прогрессия

состоит из различных натуральных чисел.

Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел ровно три числа делятся на ?
Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел ровно чисел делятся на ?
Для какого наибольшего натурального может оказаться так, что среди чисел больше кратных , чем среди чисел ?

Показать разбор

Решение.

А) Подходящим примером является прогрессия с первым членом и разностью . Среди первых семи её членов (

) ровно три делятся на

Б) Обозначим через разность арифметической прогрессии

Из условия следует, что — натуральное число. Пусть и — натуральные числа,

, НОД (

) обозначает наибольший общий делитель чисел и

. Имеем

Следовательно, разность

делится на

тогда и только тогда, когда разность

делится на

Значит, если среди членов арифметической прогрессии

есть кратные

, то это члены с номерами вида

, где — номер первого члена, кратного

, а пробегает все неотрицательные целые числа.

Поэтому среди любых последовательных членов прогрессии

ровно один будет делиться на

Если

, то

и среди чисел

будет по крайней мере чисел, кратных

. Если же

, то

и среди чисел

будет не более чисел, кратных

. Значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел

ровно чисел делятся на

ровно один будет делиться на

, где

, — разность арифметической прогрессии.

Значит, среди чисел

кратными

будут не более

чисел. Аналогично среди чисел

кратными

будут не менее

чисел.

Неравенство

выполнено тогда и только тогда, когда

. Пусть это равенство выполнено. Тогда разность между числами

меньше .

Получаем, что

Значит,

. Поскольку число не превосходит

, отсюда следует, что

Рассмотрим прогрессию с первым членом и разностью . Тогда среди чисел

ровно два делятся на

(

). Среди чисел

ровно одно делится на

(

). Этот пример показывает, что может равняться .

Ответ:

Да, например, прогрессия ;
нет;
.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 13 тыс. раз. С ним справились 9% пользователей.

13. Задание#T7504

Приведите пример различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно .
Можно ли расставить по кругу различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось , а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся ?
Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно ?

Показать разбор

; ; ; ; .
Нет. Каждое число в круге должно являться делителем числа . Поскольку , делителей всего , включая и . Наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел должно равняться , поэтому рядом с числом может стоять только и число не может находиться в круге. Среди делителей числа есть делителей, кратных и не кратных , делителей, кратных и не кратных , и делителя, кратных и не кратных . Поэтому чисел среди делителей числа кратны или и не кратны их квадратам. Среди чисел, выписанных в круг, не будет числа , поэтому там будет хотя бы одно число, кратное или и не кратное их квадратам. Рядом с таким числом с обеих сторон будут стоять числа, кратные тому же простому числу ( или ), поэтому наибольший общий делитель этих трёх подряд идущих чисел будет больше .
Каждое число, выписанное в круг, обязано быть делителем числа . У числа всего делителей, считая и . Среди этих делителей есть простое число , на квадрат которого делится . Рядом с числом может стоять только число , чтобы их наименьшее общее кратное равнялось (число, стоящее рядом с , должно делиться и на , и на , и на ), поэтому число не может быть написано. Рядом с числами и могут быть написаны только числа и , поэтому если в круге больше чисел, то и не могут одновременно находиться в круге. Аналогично и не могут быть написаны одновременно, поскольку рядом с ними могут быть написаны только числа и . Значит, всего может быть выписано в круг не более чисел. Пример чисел ; ; ; ; ; ; ; показывает, что наибольшее искомое количество чисел равно .

Ответ:

Например, ; ; ; ; ;
нет;
.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 11 тыс. раз. С ним справились 7% пользователей.

14. Задание#T7485

Приведите пример различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно .
Можно ли расставить по кругу различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось , а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся ?
Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно ?

Показать разбор

; ; ; ; .
Нет. Каждое число в круге должно являться делителем числа . Поскольку , делителей всего , включая и . Наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел должно равняться , поэтому рядом с числом может стоять только и число не может находиться в круге. Среди делителей числа есть делителей, кратных и не кратных , делителей, кратных и не кратных , и делителя, кратных и не кратных . Поэтому чисел среди делителей числа кратны или и не кратны их квадратам. Среди чисел, выписанных в круг, не будет числа , поэтому там будет хотя бы одно число, кратное или и не кратное их квадратам. Рядом с таким числом с обеих сторон будут стоять числа, кратные тому же простому числу ( или ), поэтому наибольший общий делитель этих трёх подряд идущих чисел будет больше .
Каждое число, выписанное в круг, обязано быть делителем числа . У числа всего делителей, считая и . Среди этих делителей есть простое число , на квадрат которого делится . Рядом с числом может стоять только число , чтобы их наименьшее общее кратное равнялось (число, стоящее рядом с , должно делиться и на , и на , и на ), поэтому число не может быть написано. Рядом с числами и могут быть написаны только числа и , поэтому если в круге больше чисел, то и не могут одновременно находиться в круге. Аналогично и не могут быть написаны одновременно, поскольку рядом с ними могут быть написаны только числа и . Значит, всего может быть выписано в круг не более чисел. Пример чисел ; ; ; ; ; ; ; показывает, что наибольшее искомое количество чисел равно .

Ответ:

Например, ; ; ; ; ;
нет;
.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 8% пользователей.

15. Задание#T4434

У Вовы есть набор из грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.

Может ли у Вовы быть ровно грузиков, среди которых есть грузик массой г?
Может ли у Вовы быть ровно грузиков?
Известно, что среди грузиков Вовы самый лёгкий грузик имеет массу г.

Какую наименьшую массу может иметь самый тяжёлый грузик Вовы?

Показать разбор

А. Если у Вовы есть грузики массами г, г, г, г, г и г, то условия задачи выполнены. Действительно, пусть выбраны грузики массами и граммов,

. Если

, то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами

граммов. Если

, то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами

граммов. Если

, то эти грузики уравновешиваются грузиком массой г. Если

, то эти грузики уравновешиваются грузиками с массами г, г и г. Наконец, если

, то эти грузики уравновешиваются грузиками с массами г, г и г.

Б. Пусть у Вовы есть грузики массами (в граммах) , ,

, , , причём

и условия задачи выполнены. Грузики массами и можно уравновесить только тремя оставшимися грузиками. Значит,

. Аналогично грузики массами

и можно уравновесить только тремя оставшимися грузиками. Значит,

. Вычитая левые и правые части двух полученных равенств, получаем

. Отсюда

, и мы приходим к противоречию.

В. По доказанному в пункте Б у Вовы не может быть меньше грузиков.

Предположим, что самые лёгкие шесть грузиков Вовы — это грузики массами (в граммах) , , ,

, , , причём

и условия задачи выполнены.

Допустим, что самый тяжёлый грузик весит г. Тогда у Вовы есть ровно шесть грузиков с массами , , , , и г. Но в этом случае остальными грузиками нельзя уравновесить грузики массами и г. Следовательно, самый тяжёлый грузик весит не меньше г.

Приведём пример подходящего набора: , , , , , и г. Докажем, что любую пару грузиков можно уравновесить набором оставшихся. Пусть выбраны грузики массами и граммов,

. Если