Задание 19. Числа и их свойства: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Остальные задачи

Задание#T1509

В школах 1№ 1 и 2№ 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 22 учащихся, а суммарно тест писали 99 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы 1№ 1 в школу 2№ 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
  1. Мог ли средний балл в школе 1№ 1 уменьшиться в 1010 раз?
  2. Средний балл в школе 1№ 1 уменьшился на 10%10\%, средний балл в школе 2№ 2 также уменьшился на 10%10\%. Мог ли первоначальный средний балл в школе 2№ 2 равняться 77?
  3. Средний балл в школе 1№ 1 уменьшился на 10%10\%, средний балл в школе 2№ 2 также уменьшился на 10%10\%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе 2№ 2.
Показать разбор
Это задание взято из демоварианта ФИПИ 2019
0 попыток решения0% решили верно

Задание#T3378

Пусть K(n)K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа nn.
  1. Существует ли такое трёхзначное число nn, что K(n)=171K(n)=171?
  2. Существует ли такое трёхзначное число nn, что K(n)=172K(n)=172?
  3. Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n)n4K(n)-n, если nn — трёхзначное число?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
0 попыток решения0% решили верно

Задание#T3510

Пусть K(n)K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа nn.
  1. Существует ли такое трёхзначное число nn, что K(n)=179K(n)=179?
  2. Существует ли такое трёхзначное число nn, что K(n)=184K(n)=184?
  3. Какое наименьшее значение может принимать выражение K(n)2nK(n)-2n, если nn — трёхзначное число?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
0 попыток решения0% решили верно

Задание#T3529

Пусть K(n)K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа nn.
  1. Существует ли такое трёхзначное число nn, что K(n)=187K(n)=187?
  2. Существует ли такое трёхзначное число nn, что K(n)=188K(n)=188?
  3. Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n)2n4K(n)-2n, если nn — трёхзначное число?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
0 попыток решения0% решили верно

Задание#T3556

Пусть K(n)K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа nn.
  1. Существует ли такое трёхзначное число nn, что K(n)=181K(n)=181?
  2. Существует ли такое трёхзначное число nn, что K(n)=180K(n)=180?
  3. Какое наименьшее значение может принимать выражение 9K(n)n9K(n)-n, если nn — трёхзначное число?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
0 попыток решения0% решили верно

Задание#T3608

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 4040 и меньше 100100.
  1. Может ли на доске быть 55 чисел?
  2. Может ли на доске быть 66 чисел?
  3. Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Это задание взято из досрочного варианта ФИПИ для ЕГЭ-2017
0 попыток решения0% решили верно

Задание#T4217

Все члены возрастающих арифметических прогрессий a1,a2,a_1, a_2, \ldots и b1,b2,b_1, b_2, \ldots являются натуральными числами.
  1. Приведите пример таких прогрессий, для которых a1b1+2a3b3=4a2b2a_1b_1 + 2a_3b_3 = 4a_2b_2.
  2. Существуют ли такие прогрессии, для которых 2a1b1+a4b4=3a2b22a_1b_1 + a_4b_4 = 3a_2b_2?
  3. Какое наибольшее значение может принимать произведение a2b2a_2b_2, если 2a1b1+a4b42102a_1b_1 + a_4b_4 \leq 210?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
1К попыток решения31% решили верно

Задание#T4236

Все члены возрастающих арифметических прогрессий a1,a2,a_1, a_2,\ldots и b1,b2,b_1, b_2,\ldots являются натуральными числами.
  1. Приведите пример таких прогрессий, для которых a1b1+a3b3=3a2b2a_1b_1 + a_3b_3 = 3a_2b_2.
  2. Существуют ли такие прогрессии, для которых a1b1+2a4b4=3a3b3a_1b_1 + 2a_4b_4 = 3a_3b_3?
  3. Какое наибольшее значение может принимать произведение a3b3a_3b_3, если a1b1+2a4b4300a_1b_1 + 2a_4b_4 \leq 300?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
1К попыток решения19% решили верно

Задание#T4255

У Вовы есть набор из nn грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.
  1. Может ли у Вовы быть ровно 66 грузиков, среди которых есть грузик массой 55 г?
  2. Может ли у Вовы быть ровно 55 грузиков?
  3. Известно, что среди грузиков Вовы есть грузик массой 11 г.
Какую наименьшую массу может иметь самый тяжёлый грузик Вовы?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
1К попыток решения17% решили верно

Задание#T4434

У Вовы есть набор из nn грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.
  1. Может ли у Вовы быть ровно 66 грузиков, среди которых есть грузик массой 77 г?
  2. Может ли у Вовы быть ровно 55 грузиков?
  3. Известно, что среди грузиков Вовы самый лёгкий грузик имеет массу 22 г.
Какую наименьшую массу может иметь самый тяжёлый грузик Вовы?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
1К попыток решения18% решили верно

Задание#T7485

  1. Приведите пример 55 различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно 105105.
  2. Можно ли расставить по кругу 88 различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось 300300, а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся 11?
  3. Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно 6060?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
805 попыток решения13% решили верно

Задание#T7504

  1. Приведите пример 55 различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно 3030.
  2. Можно ли расставить по кругу 88 различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось 450450, а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся 11?
  3. Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно 150150?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
999 попыток решения8% решили верно

Задание#T7523

Бесконечная арифметическая прогрессия a1,a2,,an,a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots состоит из различных натуральных чисел.
  1. Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1,a2,,a7a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{7} ровно три числа делятся на 100100?
  2. Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1,a2,,a49a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{49} ровно 1111 чисел делятся на 100100?
  3. Для какого наибольшего натурального nn может оказаться так, что среди чисел a1,a2,,a2na_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2n} больше кратных 100100, чем среди чисел a2n+1,a2n+2,,a5na_{2n+1}, a_{2n+2}, \ldots, a_{5n}?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
1К попыток решения9% решили верно

Задание#T7542

Бесконечная арифметическая прогрессия a1,a2,,an,a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots состоит из различных натуральных чисел.
  1. Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1,a2,,a7a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{7} ровно три числа делятся на 3636?
  2. Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1,a2,,a30a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{30} ровно 99 чисел делятся на 3636?
  3. Для какого наибольшего натурального nn может оказаться так, что среди чисел a1,a2,,a2na_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2n} больше кратных 3636, чем среди чисел a2n+1,a2n+2,,a5na_{2n+1}, a_{2n+2}, \ldots, a_{5n}?
Показать разбор
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
2К попыток решения13% решили верно

Задание#T7955

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по 22, по 33 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число aia_i, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число aia_i, а остальные числа, равные aia_i, стираются. Например, если задуманы числа 1,4,4,51, 4, 4, 5, то на доске будет записан набор 1,4,5,6,8,9,10,13,141, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 13, 14.
  1. Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7,11,18,22,297, 11, 18, 22, 29.
  2. Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9,11,13,17,18,20,22,21,24,26,28,29,30,34,37,39,41,42,509, 11, 13, 17, 18, 20, 22, 21, 24, 26, 28, 29, 30, 34, 37, 39, 41, 42, 50?
  3. Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9,11,14,20,22,23,25,31,33,34,36,42,45,47,569, 11, 14, 20, 22, 23, 25, 31, 33, 34, 36, 42, 45, 47, 56.
Показать разбор