Результаты тренировочного теста №35

Вы правильно решили: 4 из 19

Первичный балл: 4 из 32

Время: 53 мин 28 сек

В 2019 году ваш балл за тестовую часть составил бы 18 из 100

Минимальный порог (27 баллов) не пройден

№	ID задания	Ваш ответ	Правильный ответ
1	#T7524	30000	30000
2	#T7525	9	9
3	#T7526	12	12
4	#T7527	0,098	0,0294
5	#T7528	Не решено	87
6	#T7529	16	4,8
7	#T7530	Не решено	17
8	#T7531	56	63
9	#T7532	9	9
10	#T7533	90	45
11	#T7534	Не решено	768
12	#T7535	Не решено	20
13	#T7536	Набрано баллов: 0
14	#T7537	Набрано баллов: 0
15	#T7538	Набрано баллов: 0
16	#T7539	Набрано баллов: 0
17	#T7540	Набрано баллов: 0
18	#T7541	Набрано баллов: 0
19	#T7542	Набрано баллов: 0

Чтобы сохранить результаты, скопируйте ссылку на отчёт.

Моя статистика

Подробности результатов теста

1. Задание#T7524

Задачу

правильно решили

человек, что составляет

выпускников города.

Сколько всего выпускников в этом городе?

Показать ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 62 тыс. раз. С ним справились 79% пользователей.

2. Задание#T7525

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с по декабря

года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с ... по ... декабря ... года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.

Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало менее миллиметров осадков.

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 41 тыс. раз. С ним справились 80% пользователей.

3. Задание#T7526

На клетчатой бумаге с размером клетки

изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Показать разбор и ответ

Один из способов решения подобных задач — достроить фигуру до прямоугольника, после чего найти неизвестную площадь через разность известных площадей.

Обозначим площадь искомого треугольника за

Видно, что площадь прямоугольника равна сумме площадей внутренних треугольников:

Остаётся найти площади прямоугольных треугольников и прямоугольника, подставить их в формулу, после чего выразить искомую площадь.

Подставляем найденные значения в изначальную формулу:

Ответ: 12

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 37 тыс. раз. С ним справились 69% пользователей.

4. Задание#T7527

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна

. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна

. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна

Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 36 тыс. раз. С ним справились 46% пользователей.

5. Задание#T7528

Найдите корень уравнения

Показать ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 26 тыс. раз. С ним справились 58% пользователей.

6. Задание#T7529

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно .

Найдите радиус вписанной окружности.

Показать ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 24 тыс. раз. С ним справились 45% пользователей.

7. Задание#T7530

Прямая

является касательной к графику функции

Найдите

Показать ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 26 тыс. раз. С ним справились 45% пользователей.

8. Задание#T7531

Шар, объём которого равен , вписан в цилиндр.

Найдите объём цилиндра.

Показать ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 21 тыс. раз. С ним справились 58% пользователей.

9. Задание#T7532

Найдите значение выражения

, если

Показать ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 21 тыс. раз. С ним справились 58% пользователей.

10. Задание#T7533

Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле

(м), где

м/с — начальная скорость мяча, а — ускорение свободного падения (считайте, что

м/с).

При каком наименьшем значении угла (в градусах) мяч пролетит м?

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 20 тыс. раз. С ним справились 64% пользователей.

11. Задание#T7534

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна км/ч, стоянка длится часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через часа после отплытия из него.

Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?

Показать ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 20 тыс. раз. С ним справились 40% пользователей.

12. Задание#T7535

Найдите точку минимума функции

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 20 тыс. раз. С ним справились 53% пользователей.

13. Задание#T7536

Решите уравнение .
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Показать разбор

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 25 тыс. раз. С ним справились 25% пользователей.

14. Задание#T7537

Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость , перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как к .

Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью , если боковое ребро пирамиды равно .

Показать разбор

Решение.

А) Пусть — вершина,

— основание пирамиды, — середина ребра

Пусть секущая плоскость пересекает рёбра

в точках и соответственно.

Прямоугольные треугольники

равны по катету и острому углу; обозначим их равные гипотенузы

Объём тетраэдра

составляет

объёма пирамиды, что по условию равно

объёма пирамиды.

Отсюда

, и косинус плоского угла

при вершине равен

, поэтому

Б) Поскольку все плоские углы при вершине пирамиды равны

, получаем, что

. Из треугольника

по теореме косинусов

Высота

равнобедренного треугольника

равна

Искомая площадь сечения равна

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 23 тыс. раз. С ним справились 4% пользователей.

15. Задание#T7538

Решите неравенство

Показать разбор

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 24 тыс. раз. С ним справились 17% пользователей.

16. Задание#T7539

Дана трапеция

с основаниями

. Около треугольника

описана окружность, прямые

— касательные к этой окружности.

Докажите, что треугольники и подобны.
Найдите площадь треугольника , если известно, что , а .

Показать разбор

Решение.

А) Касательная

параллельна хорде

, значит,

, а так как

как угол между касательной и хордой, треугольник

равнобедренный с основанием

Поскольку

как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, треугольник

также равнобедренный с основанием

Углы при основаниях равнобедренных треугольников

равны, следовательно, эти треугольники подобны.

Б) Угол при вершине равнобедренного треугольника

равен

, значит, его высота

вдвое меньше боковой стороны

, то есть,

. Следовательно,

Ответ:

Б)

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 23 тыс. раз. С ним справились 6% пользователей.

17. Задание#T7540

Михаил планирует -го декабря взять в банке кредит на года в размере

рублей. Сотрудник банка предложил Михаилу два различных плана погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

№ Плана	Условия
	— каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — кредит должен быть полностью погашен за три года тремя равными платежами.
	— -го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца; — со -го по -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — -го числа каждого месяца долг с -го по -й месяц должен быть меньше долга на -е число предыдущего месяца на одну и ту же сумму; — к -му числу -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат Михаила банку по более выгодному плану погашения кредита?

Показать разбор

Решение.

Пусть рублей — ежегодный платёж Михаила по плану .

Тогда

Отсюда получаем

Значит, по плану Михаил заплатит банку всего

рублей.

Платежи Михаил по плану составят:

;

Тогда всего Михаил заплатит банку по плану :

рублей.

Значит, по плану общая сумма выплат Михаила банку меньше на

рублей.

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 24 тыс. раз. С ним справились 11% пользователей.

18. Задание#T7541

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень на отрезке

Показать разбор

Решение.

Уравнение

равносильно уравнению

Оно имеет единственный корень

на отрезке

при

и не имеет корней на этом отрезке при других значениях .

Уравнение

равносильно системе

Эта система имеет единственный корень

на отрезке

при

и не имеет корней на этом отрезке при других значениях .

Поскольку

, уравнение

имеет единственный корень на отрезке

при

Ответ:

;

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 23 тыс. раз. С ним справились 5% пользователей.

19. Задание#T7542

Бесконечная арифметическая прогрессия

состоит из различных натуральных чисел.

Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел ровно три числа делятся на ?
Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел ровно чисел делятся на ?
Для какого наибольшего натурального может оказаться так, что среди чисел больше кратных , чем среди чисел ?

Показать разбор

Решение.

А) Подходящим примером является прогрессия с первым членом и разностью . Среди первых семи её членов (

) ровно три делятся на .

Б) Обозначим через разность арифметической прогрессии

Из условия следует, что — натуральное число. Пусть и — натуральные числа,

, НОД (

) обозначает наибольший общий делитель чисел и . Имеем

Следовательно, разность

делится на тогда и только тогда, когда разность

делится на

Значит, если среди членов арифметической прогрессии

есть кратные , то это члены с номерами вида

, где — номер первого члена, кратного

, а пробегает все неотрицательные целые числа.

Поэтому среди любых последовательных членов прогрессии

ровно один будет делиться на .

Если

, то

и среди чисел

будет по крайней мере чисел, кратных . Если же

, то

и среди чисел

будет не более чисел, кратных . Значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел

ровно чисел делятся на .

В) Обозначим через целую часть числа — наименьшее целое число, не превосходящее . По доказанному в пункте Б) среди любых последовательных членов прогрессии

ровно один будет делиться на , где

, — разность арифметической прогрессии.

Значит, среди чисел

кратными будут не более