Знатоки теперь на Кью! Присоединяйтесь к новому сервису ЯндексаПерейти

Для того чтобы три числа 1/q+r, 1/r+p, 1/p+q составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы числа p^2 q^2 r^2 также..?

Интересный вопрос
1 ответ
Математик. Онлайн-занятия по высшей математике. Мои сайты: math1.ru и проект "Решебник": math1solutions.ru.

Вообще, здесь надо сделать оговорку, что q<>-r, r<>-p и p<>-q, чтобы в знаменателях не возникло нулей.

А далее рассудим так: если данные дроби образуют арифметическую прогрессию, то

1/(r+p)-1/(q+r)=1/(p+q)-1/(r+p);

2/(r+p)-1/(q+r)-1/(p+q)=0

Приводя к общему знаменателю, приходим к такому равенству:

2(q+r)(p+q)-(r+p)(p+q)-(r+p)(q+r)=0

2q^2-p^2-r^2=0

Это равенство и означает, что числа p^2, q^2 и r^2 образуют арифметическую прогрессию. Доказать утверждение в обратную сторону несложно, для этого нужно всего лишь подняться по записям снизу вверх.

Написать комментарий

0/140Ответ не может быть меньше 140 символов