Как доказать, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним?

+11
Лучший ответ

Докажем, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.

Доказательство. Пусть A‍ и B —‍ точки пересечения двух окружностей, MN —‍ общая касательная (M‍ и N —‍ точки касания), K —‍ точка пересечения прямых AB‍ и MN‍ (A‍ между K‍ и B).‍ Тогда

MK‍2 = KB · KA и NK‍2 = KB · KA.‍

Следовательно, MK = NK.‍

+3
Обновлено 8 месяцев назад
Ещё 5 ответов

Пусть A и B — точки пересечения двух окружностей, MN — общая касательная (M и N — точки касания), K — точка пересечения прямых AB и MN (A между K и B). Тогда

MK2 = KB . KA и NK2 = KB . KA.

Следовательно, MK = NK.

Пусть A и B — точки пересечения двух окружностей, MN — общая касательная (M и N — точки касания), K — точка пересечения прямых AB и MN (A между K и B). Тогда

MK2 = KB . KA и NK2 = KB . KA.

Следовательно, MK = NK.

Пусть A и B — точки пересечения двух окружностей, MN — общая касательная (M и N — точки касания), K — точка пересечения прямых AB и MN (A между K и B). Тогда

MK2 = KB . KA и NK2 = KB . KA.

Следовательно, MK = NK.

+3
Обновлено 14 дней назад

Но ведь касательная - это же прямая. Прямая бесконечна, и её не поделить пополам. Если же имеется в виду отрезок, построенный на такой прямой, чьи концы являются точками касания окружностей, то нужно применить теорему о касательной и секущей (об их связи). Квадраты расстояний и т.д. :)

+2
Обновлено 9 месяцев назад

Эту задачу можно решить большим числом способов, но она очень легко и красиво доказывется через радикальные оси.

Радикальная ось двух окружностей - это геометрическое место точек, степени которых относительно этих окружностей равны. Степенью точки относительно окружности называется разность квадратов расстояния до центра и радиуса (по теореме Пифагора это еще и квадрат касательной, если точка лежит вне окружности).

Несложно доказать, что радикальная ось - это прямая (в координатах например записать). А дальше из этого следует множество классных фактов.

Например, если окружности пересекаются, то прямая, проходящая через точки пересения - это радикальная ось, так как степени точек пересечения относительно обеих окржностей равны нулю. Из этого следует, что для любой точки этой радикальной оси касательные до этих окружностей равны, в том числе для точки пересечения с общей касательной. Именно поэтому радикальная ось делит отрезок общей касательной пополам.

+3
Обновлено 5 дней назад

Вот тут http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=52779 хорошее решение этой теоремы.

+4
Обновлено 8 месяцев назад

Зафиксируем точку, в которой пересекаются прямая, проходящая через точки пересечения окружностей, и их общая касательная.

Будем считать, что из этой точки проведены касательные к обеим окружностям и секущая.

Поскольку квадраты длин касательных к обеим окружностям равны произведению расстояний от этой точки до первой и второй точек пересечения окружностей . То расстояния от этой точки до точек касания равны между собой.

0
8 месяцев назад
Ответ удален. 
Ответ удален. 
Ответ заблокирован.