Математика

Число представляет собой произведение вида N*2*3*3*5

Если аккуратно расставлять скобки, то можно получить:

(N*2*3*5)*(3) = K * 3

(N*3*5)*(2*3) = K * 6

(N*3*3)*(2*5) = K * 10

(N*2*3)*(3*5) = K * 15

(N*5)*(3*3*2) = K * 18

(N*3)*(2*3*5) = K * 30

(N*2)*(3*3*5) = K * 45

(N)*(2*3*3*5) = K * 90

Итого {3, 6, 10, 15, 18, 30, 45, 90}.

** Чтобы проверить, что мы ничего не забыли, посчитаем число делителей:

всех возможных делителей -- число наборов из 4 чисел.

2^4 = 16

Однако у нас дублируется 3-ка, поэтому удалим все наборы, где есть (3) один раз (потому что они учтены 2 раза): {3}, {3, 2}, {3, 5}, {3, 2, 5}.

16 - 4 = 12

Вычтем также пустой набор (т.е. деление на 1) и наборы, которые нам даны в условии {(2), (5), (3, 3)}

12 - 1 - 3 = 8.

Значит ничего не упустили :)

Оригинально это задача была представлена на конкурсе им. Савина в журнале Квант #4 в 2006 году. В такой формулировке:

В ряд выложены 28 одинаковых по внешнему виду монет. Среди них есть две рядом лежащие фальшивые монеты — более тяжёлые, чем настоящие. Можно ли за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивые монеты?

Решения в интернете я не нашёл, поэтому приведу своё решение. Любая задача на взвешивание монет на каждом шаге даёт 3 варианта: тяжелее, легче или равны. В самом сбалансированном случае это означает принадлежность искомого объекта к одной из кучек, большая из которых не может быть меньше, чем 1/3 от размера исходного числа монет. Тогда поиск одной монеты за 3 взвешивания осуществим только для 3^3=27 монет (или меньше).

В нашей постановке задачи есть дополнительная информация о том, что пара монет лежит рядом, поэтому мы будем искать позицию пары. Таких позиций будет ровно 27 (1-2, 2-3, ..., 27-28) -- значит у нас всё может получиться!

Разделим монеты на 3 кучки по 10 штук с перекрытием в одну монету: 1-10, 10-19, 19-28, и попробуем определить принадлежность нашей пары к одной из этих кучек. Для этого взвесим на весах первые 9 монет (1-9) и последние 9 (20-28). Если они равны, в них нет фальшивых монет, а обе тяжёлые монеты принадлежат средней кучек из 10 монет (10-19). Если одна из них окажется тяжелее, это значит, что 1 или 2 тяжёлые монеты попали в неё. Мы знаем, что тяжёлые монеты ходят парами, поэтому мы гарантируем, что обе попадут в "расширенную" кучку (1-10) или (19-28).

Теперь у нас есть кучка из 10 монет, в которой прячется фальшивая пара. Повторим процедуру для 3 кучек размером 4 монеты с перекрытием: 1-4, 4-7, 7-10. Взвесим 1-3 и 8-10 и найдём четвёрку, в которой скрывается наша пара монет, по тому же принципу.

Последний шаг - найти пару среди 4 монет. Взвесим крайние 1 и 4. Если равны - пара посередине, если 1я тяжелее, то фальшивые 1-2, если легче - 3-4.

Предположим, что наш вектор имеет координаты x = (q, r, s). Переведём утверждения условия:

1) "x лежит в плоскости xOz" - значит ордината у вектора нулевая, или r = 0.

2) "Перпендикулярен вектору (1, 1, -2)" - можно представить в виде утверждения "скалярное произведение векторов нулевое", ax = 0, или q*1 + r*1 - s*2 = 0.

3) "|x|=2" эквивалентно sqrt(q^2 + r^2 + s^2) = 2.

Подставим (1) в (2) и (3):

(4) q - 2s = 0, иначе, q = 2s

(5) sqrt(q^2 + s^2) = 2, иначе, q^2 + s^2 = 4.

подставим (4) в (5)

4s^2 + s^2 = 4

s^2 = 4/5

s = ±sqrt(4/5)

q = ±2*sqrt(4/5)

Итак, вектор x имеет вид:

(2*sqrt(4/5), 0, sqrt(4/5)) или (-2*sqrt(4/5), 0, -sqrt(4/5))

На День Рождения Фоксфорда к мистеру Фоксу и мистеру Форду пришло много гостей. Оказалось, что мистер Фокс знает 65 % гостей, а мистер Форд  — 1 ответ

— 45 %. Каждый гость знаком хотя бы одним из хозяев, а не менее 5 человек знакомы им обоим. Какое наименьшее число гостей могло было на празднике?

+9

Гости принадлежат или знакомым мистера Фокса (множество A), или знакомым мистера Форда (множество B) или их пересечению (A⋂B). Больше вариантов нет. Пусть число гостей - x.

Тогда

|A| = 0.65 * x

|B| = 0.45 * x

|A⋃B| = x

А также (из условия)

|A⋂B| ≥ 5

Воспользуемся формулой включений-исключений.

|A⋃B| = |A| + |B| - |A⋂B|

Перепишем, подставив:

x = 0.65x + 0.45x - |A⋂B| = 1.1x - |A⋂B| ≤ 1.1x - 5

x ≤ 1.1x - 5

0.1x ≥ 5

x ≥ 50

Значит минимальное число гостей - 50

НО! (как меня тут правильно поправляют)

Необходимо, чтобы выполнялось ещё одно условие: |A| и |B| - целые числа.

Т.е. x * 0.65 - целое. В простых дробях это 13/20x - целое, значит x кратно 20.

Так же для x * 0.45 - целое. В простых дробях это 9/20x - значит опять же x кратно 20.

Минимально число, кратное 20, но большее 50 - 60.

Ответ - 60.

А из x по 5 - это количество размещений без повторений из x по 5. Можно взять общую формулу с факториалом, но проще рассмотреть как частный случай:

A из x по 5 = x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)

A из x-2 по 4 = (x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)

Подставляем в уравнение, получаем:

x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4) = 30*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)

Переносим иксы влево:

(x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)) / ((x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)) = 30

Сокращаем, получаем:

(x*(x-1)) / (x-5) = 30

Домножаем обе части уравнения на x-5, получаем

x*x - x = 30x-150

Переносим всё влево, получаем квадратное уравнение:

x*x - 31x + 150 = 0

Находим корни. x1 = 6, x2 = 25

Ненулевой вектор Х называют собственным вектором линейного оператора с матрицей А, если найдется такое число l, что АХ = lХ.

При этом число l называют собственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору Х.

Проще говоря, собственный вектор — это такой вектор, который под действием линейного оператора просто умножается на некоторое число.

Для того чтобы найти процент от числа нужно:

1) число, от которого нужно найти процент, разделить на 100

2) полученный результат умножить на искомый процент.

попросила — 1 ответ

У димы две монеты: 5 р. и 2 р. он купил тетрадь за 3 р. сколько рублей у него осталось? юля и слава составили по этой задаче разные выражения. объясни, как рассуждал каждый из них.?

0
  1. (5+2)-3=4 Юля решила узнать, сколько всего денег у Димы, а потом вычесть из этой суммы стоимость тетради.

  2. (5-3)+2=4 Слава рассудил, что Дима купит тетрадь на монету в 5 руб. и получит сдачу 2 руб., потом к этим 2 руб. со сдачи прибавил 2 оставшихся рубля.

Существует ли алгоритм упрощения большого числа до нескольких простых операции, с меньшим количеством символов? — 1 ответ

Возьмем к примеру число 1020. Его можно упростить, таким образом 10^2+20.

Но это короткое число. Так что возьмем для примера число чуть побольше: 10 000 002 985 984 (14 символов)

Его можно упростить так: 10^13 + 12^6 (10 символов).

Но это всё ещё маленькое число. В самой задаче присутствует число из 30↑30 символов в 36'чной системе счисления. Есть ли какой-нибудь алгоритм, который позволит упростить любое такое большое число, до простых математических операции, хотя бы из 10↑10 символов?

В условии математических операциях можно использовать любые простые операции, не требующего больших ресурсов для вычисления или из класса NP. К примеру, можно использовать: плюс, минус, деление, возведение в степень, стрелочные нотации Кнута, и др.

И ещё можно использовать любую систему счисления, вплоть до 36'чной.

Можно также разделить число на несколько частей, чтобы упростить их. И при вычислении этих чисел, они обратно встают друг за другом.

Сам алгоритм упрощения тоже должен быть простым и не быть из класса NP.

Так вот, существует ли такой алгоритм, которым можно упростить любое большое число до простых мат. операции с самым минимальным количеством символов?

0

Ответа не знаю, но давайте порассуждаем вместе.

1) Снижать число символов могут унарные функции, которые растут быстрее линейных по отношению к аргументу (например, факториал).

2) Функция двух и более аргументов должна рости быстрее, чем умножение: любая запись умножения длиннее, чем результат (степени, стрелки Кнута, функция Аккермана, ...).

При этом, как вы сами показали, ни от сложений, ни от умножений отказаться нельзя. Вряд ли для числа 2^65536+6 можно придумать запись, короче чем A(4,2)+9 или 2↑↑5+6 .

Таким образом, есть функции, "ухудшающие" запись, есть "улучшающие". Результат - это композиция этих функций. Дальше исключтельно рассуждения, не подтверждённые доказательствами :) Если отказаться от применения ухудщающих операций мы не можем, то пространство поиска у нас не выпуклое (иногда лучше декомпозировать число как сумму, чтобы потому получить что-то типа 2↑↑↑↑5+8^13). Кажется, поэтому ни динамика, ни DnC, ни жадный алгоритм нам не помогут. Скорее всего решение будет вполне себе экспоненциальным. Например, обход по дереву операций с отсечениями. Кажется, что задав изначальный набор унарных и бинарных операций, такой метод написать совсем несложно, но увы, это будет экспонента.

2sin(x)cos(x)=sin(x) тут использовали формулу синуса двойного угла и формулы приведения
sin(x)*(2cos(x)-1)=0
sin(x)=1; cos(x)=1/2
x=pi/2 + 2pi*k; x =±pi/3 +2pi*k

Здесь pi=3,14..., k - любое целое число