Династийный культ был только у народов Востока и Азии?

Не очень понятно, что имеется в виду. 

Если речь идет об обожествлении персоны правителя, то в европейской истории всю дорогу шла борьба церковной и светской власти (например, Авиньонское пленение пап XIV века), как и в России (Алексей Михайлович и патриарх Никон). Тем не менее, в древнем Риме был культ поклонения императорам (но не династиям). 

Что касается Китая, то, действительно, император был включен в религиозную систему (как сын неба), участвовал в выполнении важнейших ритуалов (например, одна из наиболее знаменитых достопримечательностей Пекина - Храм Неба и Земли, где проводились ритуалы с участием императора). Важно заметить, что культ императора не прерывался со сменой династий: и маньчжуры Айсиньгиоро (Цин), и китайские императоры при Мин были одинаково вовлечены в эту систему. 

В Японии императорская семья, как считается, происходит от богини Аматэрасу (см. "Кодзики"). Однако говорить именно об обожествлении отдельной династии не представляется возможным - речь идет скорее об императоре как части религиозной структуры общества. 

Можно вспомнить наиболее яркий пример - древний Египет, где фараон также был включен в религию, но опять же, без привязки к династии. 

Поэтому на ваш вопрос можно ответить так: правители обожествлялись, но вопрос династий не был важен (конкретно в разрезе религии). 

В России также: Рюриковичи и Романовы, вымирание Рюриковичей привело к тяжелейшему кризису - Смуте. У эфиопов династии негусов вообще 3000 лет. Долго продержались династии, ведущие свой род от Карла Великого на Западе, но потом все выродились, и больше таких долгожителей не было. Хотя вот Бурбоны до сих пор в Испании правят.