Биоинформатика - это применение методв анализа данных на компьютерах в биологии. Биотнформатики занимаются анализом последовательностей геномов, поиском новых лекарств на основании трехмерных структур белков, реконструкцией эволюционных процессов.
Биотехнология - это применение биологии в производстве. Начиная от подбора условий, чтобы молоко эффективнее превращалось в кефир, и заканчивая наработкой инсулина в генетически модифицированных дрожжах. И да, производство вакцин - это тоже биотехнология.
Биоинженерия - это создание и улучшение биологических систем с использованием инженерных подходов. В том числе в это понятие входит и генная инженерия, и выращивание биологических тканей, и нейроинженерия.