Технически это ремешок, которым можно закрепить фуражку на голове, перекинув его с козырька на подбородке. На простых, так сказать, походных фуражках этот ремешок ещё сохранил свою функциональность, и при большом желании его можно использовать по назначению. Ремешок ослабляется - на самом деле он состоит из двух частей, которые "держатся" друг за друга двумя петельками, расположенными по краям, - а потом затягивается уже под подбородком. Такой трюк поможет не потерять фуражку на ветру, во время поездки в открытом грузовике или выгрузки из вертолёта.
Что же касается парадных фуражек высших чинов, то, как вы верно подметили, ремешок на них уже, как правило, заменён на золотистый витой шнур (тем толще чем выше звание и должность), и он, зачастую, намертво закреплён над козырьком, превратившись в элемент оформления.