Исследователи творчества Тургенева дают 2 трактовки названия этого произведения:
1) Из-за того, что главный герой Герасим с рождения был немым и не мог разговаривать, Му-Му - это так кличка, с помощью которой он мог подзывать собаку. Потому произведение так и названо.
2) Вторая версия более глубокая. "Му-Му" - это не просто рассказ о житейской проблеме немого человека, это был посыл Тургенева против крепостного права в России. Название и главный герой, по мнению исследователей, символизируют российский народ, который под гнетом крепостного права бесправен, унижен, но все равно безмолвно все терпит.
Рассказ назван Муму потому, что так звали собаку главного героя Герасима, которую он утопил. Странное имя собачонки связано с тем, что Герасим был немой и только мычал.