Я не стану говорить о корнях, основателях и последователях этих учений. Для точного академического подхода есть много хорошей философской литературы, которая подробнее раскрывает эти различия. Я же немного простыми терминами, характерными не для древних греков, а для вполне современного россиянина.
Гедонисты видели главным смыслом жизни получение удовольствия и только его. Никакой боли и страданий - только наслаждение. И допускали, что это порой может быть эгоистичным. Злой волшебник из фильма “Тайна железной двери”, который хотел смеяться пять минут - вот пример гедониста.
А эпикурейцы продвинулись чуть дальше. Им нужно было не только получать удовольствие, но ещё и избавиться от страха перед богами и смертью, чтоб уж совсем чувствовать себя безмятежно (хотя этим опасно приближали себя к статусу безбожников). Можно сказать, что они живут по современному принципу YOLO - you only live once (живём лишь раз).