Слово "степень" в древнерусском языке было мужского рода. Под влиянием какого русского слова оно перешло в женский род?

Вероятнее всего, нет одного конкретного слова. Такой переход объясняется общим грамматическим процессом унификации типов склонения. В древнем типе на *i (современное 3-е) были существительные и женского рода типа ночь, и мужского типа гость и путь. Большинство муществительных м.р. изменили окончания под влиянием другого продуктивного типа склонения (типа конь), и только вот путь сохранило древние особенности, не вошло во 2 склонение. Степень склонялось как путь, т.е. по типу на *i мужского рода. Оно сохранило большинство исконных окончаний, но поменяло родовую отнесенность. Кстати, так же род поменяли ступень, печать, гортань.