Оптимизация портфеля по ковариациям финансовых инструментов

Для данного метода оптимизации примем некоторые допущения:

Пусть у нас есть две акции не коррелирующие между собой (их доходности и движения не зависят друг от друга). В качестве данных для оптимизации возьмем волатильности этих акций, выраженные в виде дисперсий доходности этих акций (доходность и дисперсии рассчитаем из недельных или дневных свечей) D1 и D2.

Необходимо определить веса акций в портфеле W1=?, W2=? При W1+W2=1

Поскольку дисперсии D1 и D2 отражают волатильности акций, то при отсутствии каких-либо других данных и ограничений, целесообразно составить портфель с весами обратно пропорциональными их дисперсий. То есть, чем больше дисперсия у акции, тем меньше ее доля в портфеле.

От сюда получаем:

Простой случай имеет простое решение. В данной ситуации мы не знаем, какая акция будет расти, какая падать и какие вообще будут движения. Но мы оптимизировали свой портфель в расчете на то, что в долгосрочной перспективе рынок склонен к росту.

Теперь возьмем задачу посложнее. Пусть у нас есть две акции с дисперсиями D1 и D2, имеющие между собой зависимость, выраженную ковариацией COV.

Сохраним идею пропорций весов и дисперсий. Но из дисперсий вычтем ковариацию: (D1-COV) и (D2-COV)

Исследуем как зависят веса акций в портфеле от ковариации. Примем, для примера, D1=3, D2=7. Ковариация COV будет переменной Х.

Постоим функции W1=(7-X)/(10-2*X) и W2=(3-X)/(10-2*X).

На графике можем видеть, что:

При COV=0 мы получаем веса 0,3 и 0,7.

При COV стремящийся в глубокий минус (корреляция -1) веса стремятся к 0,5/0,5. То есть, когда акции двигаются в противофазе, есть смысл иметь портфель близкий к 0,5/0,5 скорректированный на соотношение дисперсий.

При положительной COV > D1 есть смысл W2 сделать отрицательным (встать в шорт по акции с большей дисперсией, чтобы уменьшить общую дисперсию портфеля).

Выводы: Выше приведенные формулы для расчета портфеля из двух акций, на основании дисперсий и ковариации этих акций, подходят для оптимизации портфеля.

Задача оптимизации портфеля из большого количества акций осложняется тем, что количество параметров сильно увеличивается с количеством рассчитываемых элементов. В большом портфеле необходимо учитывать все возможные корреляции между всеми элементами портфеля. Используя метод пропорций дисперсий, нет возможности построить систему линейных уравнений для большого количества элементов. Поэтому для вычислений будем использовать последовательный метод оптимизации. Общий принцип последовательной оптимизации заключается в том, что мы оптимизируем акции попарно, создавая мини-портфели, которые в дальнейшем попарно оптимизируем с другими мини-портфелями или акциями. То есть, мы производим последовательную попарную оптимизацию, пока не останется один портфель.

Пусть у нас есть 5 акций из которых нужно составить портфель (А1, А2, А3, А4, А5).

Оптимизация начинается с четко определенных условий. Первой парой для оптимизации является пара акций у которой корреляция ближе всего к (-1).

Для начала расчета нам понадобится таблица корреляций

Первой парой будут А1-А3. Проведя расчет мы получим набор для дальнейших расчетов (А1-А3, А2, А4, А5). Теперь нам следует найти корреляцию портфеля А1-А3 относительно остальных элементов и выбрать наименьшее значение для дальнейшего расчета.

Из оставшихся значений корреляции и полученных новых необходимо снова выбрать наименьшее значение, и провести расчеты для следующей пары.

Данный алгоритм применять к массиву полученных портфелей и акций до тех пор, пока всё не свернется в один портфель. Схематично это выглядит так:

Для нахождения веса акции в общем портфеле необходимо перемножить все веса находящиеся на пути от акции до конечного портфеля:

Wa1 = W1*W1,3*W1,3,4

Wa2 = W2*W2,5

Wa3 = W3*W1,3*W1,3,4

Wa4 = W4*W1,3,4

Wa5 = W5*W2,5

В результате получаем веса акций в искомом оптимизированном портфеле.

На первый взгляд, расчет кажется очень сложным и громоздким, особенно если необходимо будет составить портфель из очень большого количества акций. Но этот способ оптимизации имеет четкий и однозначный алгоритм. Поэтому, он легко автоматизируется. И вся работа по расчету будет сводиться к корректной загрузке данных в программу для оптимизации.

Проверка результата проводилась следующим образом:

— проводился расчет портфеля по данному алгоритму;

— на исторических данных определялась дисперсия и доходность портфеля;

— проводился расчет портфеля методом Марковица, где для расчета использовалась доходность портфеля исследуемого метода;

— сравнивались дисперсии разных методов.

Проверка показала что дисперсия для портфеля полученного данным методом на 5-10% меньше, чем дисперсия рассчитанная методом Марковица. То есть риск полученного портфеля меньше на 5-10% при одинаковой доходности.

Такие результаты могут показаться ошибочными. Как может метод итерации быть лучше, чем математическое нахождение оптимальной точки???

Но дело в том, что входные данные (дисперсии и ковариации) при их определении имеют некую погрешность. При использовании метода Марковица (поиск оптимальной точки) любая погрешность уводит нас от оптимального значения. А общая ошибка – сумма векторов ошибок направленных от точки оптимальности. И чем больше используется входных параметров, тем больше суммарная ошибка. Поскольку погрешности присутствуют всегда, то методом Марковица в принципе невозможно точно попасть в оптимальную току.

В нашем способе оптимизации портфеля ошибки арифметически складываются и имеют разный знак, поскольку из дисперсий вычитаются ковариации определяемые таким же методом. В результате общая ошибка будет небольшой, и есть вероятность попадания в оптимальную точку.