После смерти отца сожительница не торопится выезжать из его квартиры и не передаёт ключи. Там она не прописана, только его дети. Как быть?

Дети могут направить ей почтой с описью официальное письменное Извещение на адрес этой квартиры с требованием выселиться в конкретный срок (по судебным делам о выселении предусмотрена обязательная досудебная претензионная процедура).
Также обратиться в полицию с заявлением, в котором изложить просьбу выдворить из квартиры самоуправно проживающую там без регистрации гражданку. Полиция обычно не вмешивается в гражданско-правовые отношения, поэтому непосредственно в выселении может и не помочь. Если она не выселится, то обратиться в суд с иском о выселении. Дела о выселении слушаются с участием прокурора. После вступления решения в законную силу, истец подаст заявление о выдаче исполнительного листа, затем обратится в службу судебных приставов - исполнителей, и выселять ответчицу будет пристав в рамках исполнительного производства.
Собственник может просто поменять личинку замка в своей квартире. Но тут возникнет проблема с удержанием вещей, принадлежащих сожительнице отца. Она скорее всего будет обращаться в полицию с заявлениями о хищении её вещей. Каждая ситуация требует индивидуального подхода и обсуждения тактики.